Toán 10 chứng minh

[Nguyễn Ngọc Ngân Khánh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Nếu tam giác ABC có các cạnh thỏa điều kiện a/b+c + b/c+a + c/a+b=3/2 thì tam giác ABC đều

 

[Kaito Kidㅤ]

Em làm thế này ạ
đặt b+c= x ; c+a = y ; a+b = z
Suy ra [tex]a=\frac{y+z-x}{2}\\b=\frac{x + z - y}{2}\\c=\frac{x + y - z}{2}[/tex]
Suy ra
[tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{y + z - x}{2x}+\frac{x + z - y}{2y}+\frac{x + y - z}{2z}=\frac{1}{2}.(\frac{y + z - x}{x}+\frac{x + z - y}{y}+\frac{x + y - z}{z})=\frac{1}{2}.(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{y}{z}-3)[/tex]
Áp dụng BĐT [tex]\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2[/tex]
Suy ra [tex]\frac{1}{2}.(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{y}{z}-3)\geq \frac{1}{2}.(2+2+2-3)=\frac{3}{2}[/tex]
Dấu = xảy ra khi x=y =z-> b+c = c+a = a+b -> a=b=c
Kết hợp với đầu bài a/b+c + b/c+a + c/a+b=3/2
suy ra a=b=c -> tg ABC đều