Toán Chứng minh

[Hà Chi0503]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng không tồn tại ba số dương a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn :
[tex]\frac{a}{b-c} + \frac{b}{c-a} + \frac{c}{a-b}=0[/tex]

 

[Mark Urich]

Chứng minh rằng không tồn tại ba số dương a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn :
[tex]\frac{a}{b-c} + \frac{b}{c-a} + \frac{c}{a-b}=0[/tex]

Ta biến đổi.
Do a, b, c là 3 số dương và đôi một khác nhau nên sẽ có 1 thứ tự nào đó, 1 số lớn nhất, 1 số nhỏ nhất và 1 số nằm giữa.
Giả sử a > b > c (các trường hợp khác cm tương tự)

Ta có: (a - b)(a + b - c) > 0
--> [tex]a^{2} - b^{2} -ac + bc > 0[/tex]
hay: a(a - c) - b(b - c) > 0
nhân với a - b > 0 có:
(a - b) (a(a - c) -b(b - c)) > 0
vì: c(a - c)(b - c) > 0
cộng lại có:
[tex](a - b)\left [ a(a - c) - b(b - c) \right ] + c(a - c)(b - c) > 0[/tex]
hay: a(a - b)(a - c) + b(b - c)(b - a) + c(a - c)(b - c) > 0
chia 2 vế cho (a - b)(b - c)(a - c) > 0 ta có:
[tex]\frac{a}{b - c} + \frac{b}{c - a} + \frac{c}{a - b} > 0[/tex]
vậy biểu thức luôn dương.