Toán Chứng minh

[hoanglop7amt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Với a>0, b>0, c>0.
Chứng minh rằng: [tex]\frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}+\frac{1}{b^{3}+c^{3}+abc}+\frac{1}{c^{3}+a^{3}+abc}[/tex] [tex]\leq \frac{1}{abc}[/tex]

 

[Nguyễn Thị Kim Ngân]

Với a>0, b>0, c>0.
Chứng minh rằng: 1a3+b3+abc+1b3+c3+abc+1c3+a3+abc1a3+b3+abc+1b3+c3+abc+1c3+a3+abc\frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}+\frac{1}{b^{3}+c^{3}+abc}+\frac{1}{c^{3}+a^{3}+abc} ≤1abc

Nguồn: Yahoo

Ta chứng minh
a³ + b³ ≥ ab(a + b)
<=> a³ - a²b - ab² + b³ ≥ 0
<=> a²(a - b) - b²(a - b) ≥ 0
<=> (a² - b²)(a - b) ≥ 0
<=> (a - b)²(a + b) ≥ 0 [điều này đúng với mọi a, b dương]

Áp dụng
a³ + b³ ≥ ab(a + b) <=> a³ + b³ + abc ≥ ab(a + b) + abc = ab(a + b + c)
b³ + c³ ≥ bc(b + c) <=> b³ + c³ + abc ≥ bc(b + c) + abc = bc(a + b + c)
c³ + a³ ≥ ac(a + c) <=> c³ + a³ + abc ≥ ac(a + c) + abc = ac(a + b + c)

Suy ra
1/(a³ + b³ + abc) ≤ 1/[ab(a + b + c)]
1/(b³ + c³ + abc) ≤ 1/[bc(a + b + c)]
1/(c³ + a³ + abc) ≤ 1/[ac(a + b + c)]
=> 1/(a³ + b³ + abc) + 1/(b³ + c³ + abc) + 1/(c³ + a³ + abc) ≤ 1/[ab(a + b + c)] + 1/[bc(a + b + c)] + 1/[ac(a + b + c)]
=> 1/(a³ + b³ + abc) + 1/(b³ + c³ + abc) + 1/(c³ + a³ + abc) ≤ (a + b + c)/[abc(a + b + c)]
=> 1/(a³ + b³ + abc) + 1/(b³ + c³ + abc) + 1/(c³ + a³ + abc) ≤ 1/abc [đpcm]

Nguồn: Yahoo