Toán Chứng minh

[congkhaict1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1 Cho a,b >0 thỏa a+b=1 chứng minh
a) [tex]\frac{1}{a^{2}+b^{2}} +\frac{1}{2ab}\geq 4[/tex]
b)[tex]\frac{3}{a^{2}+b^{2}}+ \frac{2}{ab} \geq 14[/tex]

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

a) Áp dụng BĐT $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\geq \dfrac{4}{a+b}$ ta có:
$\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}\geq \dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}=\dfrac{4}{(a+b)^2}=4$ (vì $a+b=1$)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\dfrac{1}{2}$
b) Áp dụng BĐT ở phần a) và $2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2$ ta có:
$\dfrac{3}{a^{2}+b^{2}}+ \dfrac{2}{ab}=4\left ( \dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab} \right )-\dfrac{1}{a^2+b^2}\geq 4.4-\dfrac{1}{a^2+b^2}\geq 16-\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}(a+b)^2}=16-2=14$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\dfrac{1}{2}$

 

[machung25112003]

Bài 1 Cho a,b >0 thỏa a+b=1 chứng minh
a) [tex]\frac{1}{a^{2}+b^{2}} +\frac{1}{2ab}\geq 4[/tex]
b)[tex]\frac{3}{a^{2}+b^{2}}+ \frac{2}{ab} \geq 14[/tex]

a)Áp dụng bđt Cô-si, ta có:
1/2ab + 1/(a² + b²) ≥ 4/(2ab + a² + b²) = 4/(a + b)² = 4/1² = 4
Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1/2
b) VT=4/(2ab) +4/(a^2+b^2)-1/(a^2+b^2)
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:
VT>=16/(a+b)^2 -1/(a^2+b^2)=16-1/(a^2+b^2) (1)
có 1=(a+b)^2<=2(a^2+b^2) ( theo Bunlia)
=>a^2+b^2>=1/2 hay -1/(a^2+b^2)>=-2 (2)
từ (1) và (2) ta suy ra đpcm ,dấu = khi a=b=1/2