Toán 10 Chứng minh $XY$ là tiếp tuyến $(\omega)$

[_Error404_]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [imath]\Delta ABC[/imath] có [imath]M[/imath] là trung điểm của [imath]BC[/imath]. Gọi [imath](\omega)[/imath] là đường tròn nằm trong [imath]\Delta ABC[/imath] tiếp xúc với [imath]AB,AC[/imath] lần lượt tại [imath]E,F[/imath]. Kẻ tiếp tuyến [imath]MP,MQ[/imath] của [imath](\omega)[/imath] với [imath]P,Q[/imath] là tiếp điểm sao cho [imath]P,B[/imath] cùng phía so với [imath]AM[/imath]. Gọi [imath]X[/imath] là giao điểm của [imath]PM[/imath] và [imath]BF[/imath], [imath]Y[/imath] là giao điểm của [imath]QM[/imath] và [imath]CE[/imath]. Chứng minh nếu [imath]BC=2PM[/imath] thì [imath]XY[/imath] là tiếp tuyến của [imath](\omega)[/imath].
. . . . .

 

[7 1 2 5]

(Bài này anh có sử dụng kiến thức của cực và đối cực, nên có thể sẽ không phù hợp nhé)

Xét cực và đối cực đối với đường tròn [imath](\omega)[/imath]
Nhận thấy đường tròn đường kính [imath]BC[/imath] và [imath](\omega)[/imath] trực giao nên [imath]B,C[/imath] liên hợp đối với [imath](\omega)[/imath]
Mặt khác, [imath]BE[/imath] là tiếp tuyến của [imath](\omega)[/imath] nên [imath]EC[/imath] là đường đối cực của [imath]B[/imath].
Tương tự [imath]BF[/imath] là đường đối cực của [imath]C[/imath].
Vì [imath]X[/imath] nằm trên [imath]BF[/imath] nên đường đối cực của [imath]X[/imath] sẽ đi qua điểm [imath]C[/imath] (theo định lý La Hire)
Mặt khác, [imath]XP[/imath] là tiếp tuyến của [imath](\omega)[/imath] nên [imath]PC[/imath] là đường đối cực của [imath]X[/imath].
Tương tự, [imath]BQ[/imath] là đường đối cực của [imath]Y[/imath].
Gọi [imath]F[/imath] là giao điểm của [imath]BQ[/imath] và [imath]CP[/imath] thì [imath]XY[/imath] là đường đối cực của [imath]F[/imath].
Để chỉ ra [imath]XY[/imath] là tiếp tuyến của [imath](\omega)[/imath] thì ta chỉ cần chứng minh [imath]F \in (\omega)[/imath]
Gọi [imath]I[/imath] là tâm của [imath]\omega[/imath].
Ta có: [imath]\widehat{PFQ}=90^o+\widehat{PBQ}=90^o+\dfrac{1}{2}\widehat{PMQ}=180^o-(90^o-\dfrac{1}{2}\widehat{PMQ})[/imath]
[imath]=180^o-\dfrac{1}{2}\widehat{PIQ}=180^o-\widehat{PEQ}[/imath]
Từ đó [imath]PEQF[/imath] nội tiếp hay [imath]F \in (\omega)[/imath].
Chứng minh hoàn tất!

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
Đề thi ôn tập chọn HSGQG