Toán Chứng minh trung điểm + thẳng hàng

[Quân Nguyễn 209]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[TEX]\boxed{1}[/TEX]Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) kẻ tiếp tuyến AB với (O) (B là tiếp điểm). Đường thẳng qua B vuông góc OA tại H và cắt đường tròn (O) tại C. Vẽ đường kính BD. Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại M và N (M nằm giữa A và N). Gọi I là trung điểm HN. Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với BI cắt BM tại E. Chứng minh M là trung điểm của BE
[TEX]\boxed{2}[/TEX]Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O,R) có đường cao AD. Gọi E,F là trực tâm tam giác AOB,AOC. Chứng minh E,D,F thẳng hàng
@iceghost @Nguyễn Xuân Hiếu

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

1) Dễ dàng chứng minh $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn.
Ta có: $IN^2=IH^2=IF.IB$.
Do đó $\triangle INF \sim \triangle IBN \Rightarrow \widehat{NFI}=\widehat{BNI}$.
Ta có: $\widehat{NFE}=90^0+\widehat{NFI}=90^0+\widehat{BNH}$.
Mặt khác: $\widehat{NME}=\widehat{NMC}+\widehat{EMC}=\widehat{NBH}+\widehat{NBM}=90^0+\widehat{BNH}$.
Do đó $\widehat{NME}=\widehat{NFE}$
Hay tứ giác $NFME$ nt. $\Rightarrow FH.HE=HN.HM=HB.HC$.
Do đó tứ giác $BFCE$ nt.
Hay $90^0=\widehat{BFH}=\widehat{BCE}$.
Tới đây dễ rồi. Có nhiều lựa chọn:
*) $\widehat{DCB}+\widehat{BCE}=90^0+90^0=180^0$ do đó $D,C,E$ thẳng hàng.
$O$ là trung điểm $BD$,$OM//ED(\perp BC)$ do đó $M$ là trung điểm $BE$.
*)Xét tam giác $BCE$ vuông tại $C$ có $CM=BM \Rightarrow BM=ME=CM$.

Ok nhé

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

1) Dễ dàng chứng minh $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn.
Ta có: $IN^2=IH^2=IF.IB$.
Do đó $\triangle INF \sim \triangle IBN \Rightarrow \widehat{NFI}=\widehat{BNI}$.
Ta có: $\widehat{NFE}=90^0+\widehat{NFI}=90^0+\widehat{BNH}$.
Mặt khác: $\widehat{NME}=\widehat{NMC}+\widehat{EMC}=\widehat{NBH}+\widehat{NBM}=90^0+\widehat{BNH}$.
Do đó $\widehat{NME}=\widehat{NFE}$
Hay tứ giác $NFME$ nt. $\Rightarrow FH.HE=HN.HM=HB.HC$.
Do đó tứ giác $BFCE$ nt.
Hay $90^0=\widehat{BFH}=\widehat{BCE}$.
Tới đây dễ rồi. Có nhiều lựa chọn:
*) $\widehat{DCB}+\widehat{BCE}=90^0+90^0=180^0$ do đó $D,C,E$ thẳng hàng.
$O$ là trung điểm $BD$,$OM//ED(\perp BC)$ do đó $M$ là trung điểm $BE$.
*)Xét tam giác $BCE$ vuông tại $C$ có $CM=BM \Rightarrow BM=ME=CM$.
View attachment 15359
Ok nhé

Bouns thêm nếu gọi giao điểm của $NE$ với $BQ$ là $R$. Thì từ $M$ là trung điểm $BE$ và $BE//ND(\perp BN)$.
Theo t/c hàng điểm thì: $(NB,NO,NR,ND)=-1$. hay $(B,O,R,D)=-1$.
Do đó: $\dfrac{OB}{BD}=\dfrac{OR}{DR}$.
Mặt khác: $\dfrac{OB}{BD}=\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{1}{2}$
Do đó: $DR=2OR$.
Nay đang nghiên cứu hàng điểm :v Mò mò một hồi ra cái này :v.