Toán 9 Chứng minh trực tâm của $\Delta AMN$ là trung điểm của đoạn OH

[thangbebu1112004]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH . Đường tròn tâm O đường kính AH cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E . gọi M, N lần lượt là trung điểm của BH,CH.chứng minh
a. MD song song với NE
b. trực tâm của [tex]\Delta[/tex]AMN là trung điểm của đoạn OH
c.[tex]\Delta[/tex]ABC có thêm điều kiện gì để [tex]\Delta[/tex]AMN có diện tích nhỏ nhất

 

[Ann Lee]

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH . Đường tròn tâm O đường kính AH cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E . gọi M, N lần lượt là trung điểm của BH,CH.chứng minh
a. MD song song với NE
b. trực tâm của [tex]\Delta[/tex]AMN là trung điểm của đoạn OH
c.[tex]\Delta[/tex]ABC có thêm điều kiện gì để [tex]\Delta[/tex]AMN có diện tích nhỏ nhất

a) Ta có:
[tex]\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=90^{\circ}[/tex] (2 góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét [tex]\Delta BDM[/tex] vuông tại D có đường trung tuyến DM
[tex]\Rightarrow DM=\frac{BH}{2}=MH\Rightarrow \Delta DMH[/tex] cân [tex]\Rightarrow \widehat{DMH}=1800^{\circ}-2\widehat{DHM}[/tex]
Tương tự: [TEX]\widehat{ENH}=1800^{\circ}-2\widehat{EHN}[/TEX]
Suy ra [tex]\widehat{DMH}+\widehat{ENH}=180^{\circ}\Rightarrow DM//EN[/tex]

b) Từ M hạ đường vuông góc với AN tại G cắt OH tại F.
[tex]\Rightarrow[/tex] F là trực tâm của [tex]\Delta AMN[/tex] (1)
Ta có: [tex]HB.HC=AH^2\\\Leftrightarrow \frac{HB}{AH}=\frac{AH}{HC}\\\Leftrightarrow \frac{HB}{2OH}=\frac{AB}{2HN}\\\Leftrightarrow \frac{HB}{OH}=\frac{AH}{HN}[/tex]
[tex]\Delta BHO\sim \Delta AHN(c-g-c)\Rightarrow \widehat{HBO}=\widehat{HAN}[/tex]
Lại có [tex]\widehat{HAN}=\widehat{HMG}\Rightarrow \widehat{HMG}=\widehat{HBO}\Rightarrow BO//MG[/tex]
Lại có M là trung điểm của BH
Suy ra F là trung điểm của OH (2)
Từ (1),(2) suy ra đpcm

c) [tex]S_{AMN}=\frac{1}{2}.AH.MN=\frac{1}{4}AH.BC=\frac{1}{4}AH.(BH+HC)\geq \frac{1}{4}AH.2\sqrt{BH.HC}=\frac{1}{2}AH^2[/tex] không đổi
Dấu = xảy ra khi [TEX]BH=HC [/TEX] [tex]\Leftrightarrow \Delta ABC[/tex] vuông cân tại A