Toán 10 Chứng minh tồn tại bộ 100- tốt

[David Wind]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Với mỗi số nguyên dương n, bộ hoán vị {a1,a2,...,an} của {1,2,....n} được gọi là bộ n- tốt nếu:
[imath]\sum \frac{1}{a_{i}+i} =1[/imath]
a) Chứng minh tồn tại 1 bộ 100- tốt
b) Chứng minh tồn tại 2020 số nguyên dương liên tiếp n,n+1,...n+2019 sao cho với mỗi k=n+i ([imath]i \in Z^{+}; 0\leq i \leq 2019[/imath]) luôn tồn tại 1 bộ k- tốt
c) chứng minh tồn tại bộ n- tốt với mọi n>5

 

[7 1 2 5]

a) Ta chọn các số như sau:
[imath]a_1=99,a_2=98,...,a_{48}=52,a_{49}=1,a_{50}=100,a_{51}=49,...,a_{98}=2,a_{99}=51,a_{100}=50[/imath].
Bạn có thể kiểm tra lại thỏa mãn không nhé.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
Đề thi ôn tập chọn HSGQG

 

[David Wind]

Với mỗi số nguyên dương n, bộ hoán vị {a1,a2,...,an} của {1,2,....n} được gọi là bộ n- tốt nếu:
[imath]\sum \frac{1}{a_{i}+i} =1[/imath]
a) Chứng minh tồn tại 1 bộ 100- tốt
b) Chứng minh tồn tại 2020 số nguyên dương liên tiếp n,n+1,...n+2019 sao cho với mỗi k=n+i ([imath]i \in Z^{+}; 0\leq i \leq 2019[/imath]) luôn tồn tại 1 bộ k- tốt
c) chứng minh tồn tại bộ n- tốt với mọi n>5

David Windc) Ta chứng minh bằng quy nạp
Với [imath]6 \leq n \leq 11[/imath] ta luôn tìm được 1 bộ n- tốt
Giả sử ta luôn tìm được bộ k tốt với [imath]6 \leq k \leq n-1[/imath]. Ta cần chứng minh tồn tại bộ n-tốt
Thật vậy, ta xét 2 TH:
**n lẻ, n=2m+1
theo giả thiết tồn tại bộ hoán vị {b1,b2,.....,bm} của {1,2,....,m} sao cho [imath]\sum \frac{1}{b_{i}+i}=1[/imath]
Xét bộ hoán vị {a1,a2,....,a_2m+1} của {1,2,....,n} thỏa:
[imath]a_{2i} = 2b_{i}[/imath] ([imath]1\leq i \leq m[/imath])
[imath]a_{2i+1}=2m+1-2i[/imath] ([imath]0\leq i \leq m[/imath])
=> [imath]\sum \frac{1}{a_{i}+i} = (\sum \frac{1}{2b_{i}+2i}) + (\sum \frac{1}{2m+1-2i+2i+1}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{m+1}{m+1} = 1[/imath]
** n chẵn, n=2m
theo giả thiết tồn tại bộ hoán vị {b1,b2,.....,bm} của {1,2,....,m} sao cho [imath]\sum \frac{1}{b_{i}+i}=1[/imath]
Xét bộ hoán vị {a1,a2,....,a_2m} của {1,2,....,n} thỏa:
[imath]a_{2i} = 2b_{i}[/imath] ([imath]1\leq i \leq m[/imath])
[imath]a_{2i+1}=2m-1-2i[/imath] ([imath]0\leq i \leq m-1[/imath])
TT trên => [imath]\sum \frac{1}{a_{i}+i} = 1[/imath]
=> đpcm