Toán 10 Chứng minh thẳng hàng

[Duy Quang Vũ 2007]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho đường tròn (O), các dây cung [tex]AA_{1},BB_{1},CC_{1}[/tex] song song. Chứng minh rằng trực tâm của các tam giác [tex]ABC_{1},BCA_{1},CAB_{1}[/tex] thẳng hàng.

Bài này thuộc bài tập về vecto nhưng nếu không chứng minh bằng vecto cũng được ạ.

 

[Blue Plus]

Ta có bổ đề:
Cho $\triangle ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, trực tâm $H$. Khi đó $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$.


$D,E,F$ lần lượt là trực tâm của $\triangle ABC_1;\triangle BCA_1;\triangle CAB_1$
Áp dụng bổ đề ta có:
$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC_1}$
$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA_1}$
$\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB_1}$
$\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OE}=(\overrightarrow{OC_1}-\overrightarrow{OC})+(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OA_1})=\overrightarrow{CC_1}+\overrightarrow{A_1A}$
$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE}=(\overrightarrow{OB_1}-\overrightarrow{OB})+(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OA_1})=\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{A_1A}$
Lấy $M,N$ sao cho $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{CC_1};\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{BB_1}$
Do $AA_1\parallel BB_1\parallel CC_1$ nên $A;A_1;M;N$ thẳng hàng.
Thế thì ta có: $\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{A_1M};\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{A_1N}$
Vì $A_1;M;N$ thẳng hàng nên tồn tại $k$ sao cho $\overrightarrow{A_1M}=k\overrightarrow{A_1N}\Leftrightarrow \overrightarrow{ED}=k\overrightarrow{EF}$ hay $D,E,F$ thẳng hàng.
Nếu có thắc mắc bạn cứ hỏi tại đây nhé, tụi mình sẽ hỗ trợ.