Toán 9 Chứng minh [tex]\frac{DB}{DC}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}[/tex]

[AlexisBorjanov]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O); AB<AC. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại D. Gọi M, N là trung điểm AB, AC. Kẻ đường thẳng vuông góc BC tại B, đường này cắt OM tại E. Kẻ đường thẳng vuông góc BC tại C, đường này cắt ON tại F.
1. CMR AMON là tứ giác nội tiếp (đã làm)
2. CMR [tex]\frac{DB}{DC}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}[/tex]
3. CMR D, E, F cùng nằm trên 1 đường thẳng
Em xin cảm ơn!

 

[7 1 2 5]

2. Ta có: [tex]\frac{DA}{DC}=\frac{DB}{DA}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{DB}{DA}.\frac{DA}{DC}=(\frac{AB}{AC})^2[/tex]
3. Theo định lí Thales thì điều phải chứng minh tương đương với [tex]\frac{EB}{FC}=\frac{DB}{DC}=\frac{AB^2}{AC^2}\Leftrightarrow \frac{EB}{AB^2}=\frac{FC}{AC^2}[/tex]
Vẽ AA' là đường kính của [TEX](O)[/TEX] thì [tex]\widehat{OAC}=90^o-\widehat{AA'C}=90^o-\widehat{ABC}=\widehat{EBM}[/tex]
Tương tự thì [TEX]\widehat{OAB}=\widehat{FCN}[/TEX]
[tex]\frac{EB}{AB^2}=\frac{FC}{AC^2}\Leftrightarrow \frac{EB}{BM^2}=\frac{FC}{CN^2}\Leftrightarrow \frac{1}{BM.\frac{BM}{BE}}=\frac{1}{CN.\frac{CN}{CF}}\Leftrightarrow \frac{1}{BM.cosEBM}=\frac{1}{CN.cosFCN}\Leftrightarrow \frac{1}{AM.cosOAN}=\frac{1}{AN.cosOAM}\Leftrightarrow AM.cosOAN=AN.cosOAM\Leftrightarrow AM.\frac{AN}{AO}=AN.\frac{AM}{AO}[/tex](đúng)

 

[Takudo]

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O); AB<AC. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại D. Gọi M, N là trung điểm AB, AC. Kẻ đường thẳng vuông góc BC tại B, đường này cắt OM tại E. Kẻ đường thẳng vuông góc BC tại C, đường này cắt ON tại F.
1. CMR AMON là tứ giác nội tiếp (đã làm)
2. CMR [tex]\frac{DB}{DC}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}[/tex]
3. CMR D, E, F cùng nằm trên 1 đường thẳng
Em xin cảm ơn!

Phương tích: [tex]DA^2=DB.DC \\ \\ \Rightarrow \frac{DA^2}{DC^2}=\frac{DB.DC}{DC^2}=\frac{DB}{DC}[/tex]
Vậy giờ cần c/m: [tex]\frac{DA^2}{DC^2}=\frac{AB^2}{AC^2} \ \Leftrightarrow \frac{DA}{DC}=\frac{AB}{AC} \ \Leftrightarrow \frac{DA}{AB}=\frac{DC}{AC}[/tex]
tam giác đồng dạng ...