Toán 9 Chứng minh [tex]cotB+cotC\geq \frac{2}{3}[/tex] trong tam giác có 2 góc nhọn

[Junery N]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC, góc B và góc C nhọn. Các trung tuyến BM, CN ( BM vuông góc CN ). Chứng minh rằng: [tex]cotB+cotC\geq \frac{2}{3}[/tex]
Thanks

 

[7 1 2 5]

Vẽ đường cao $AH$, trung tuyến $AP$ và gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.$ \Rightarrow H, P$ thuộc đoạn $BC$.Khi đó $\begin{array}{l}cot B + cot C = \frac{{BH}}{{AH}} + \frac{{CH}}{{AH}} = \frac{{BC}}{{AH}} \geq \frac{{BC}}{{AP}} = \frac{{2GP}}{{3GP}} = \frac{2}{3}\end{array}$ Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow AH = AP$ $ \Leftrightarrow \Delta ABC$ cân