Toán 9 Chứng minh [tex]8<\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+ \frac {1}{\sqrt{25}}<9[/tex]

[Junery N]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]S=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{25}}[/tex]. Chứng minh rằng [tex]8<S<9[/tex]

 

[7 1 2 5]

[tex]S=\frac{2}{2\sqrt{1}}+...+\frac{2}{2\sqrt{25}}[/tex]
Ta có: [tex]2\sqrt{1}< \sqrt{1}+\sqrt{2}=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{1})(\sqrt{2}-\sqrt{1})}{\sqrt{2}-\sqrt{1}}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}\Rightarrow \frac{2}{2\sqrt{1}}> 2(\sqrt{2}-1)[/tex]
Tương tự thì [tex]S> 2(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{25}-\sqrt{24})=2(\sqrt{25}-1)=8[/tex]
[tex]2\sqrt{2}> \sqrt{1}+\sqrt{2}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}\Rightarrow \frac{2}{2\sqrt{2}}< 2(\sqrt{2}-1)[/tex]
Tương tự thì [tex]S< 1+2(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{25}-\sqrt{25})=1+2(\sqrt{25}-1)=9[/tex]

 

[Lê Tự Đông]

Cm được $2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}) < \frac{1}{\sqrt{k}} < 2(\sqrt{k-1}-\sqrt{k})$ ($k \in N^*$)
=> $8 < 2(\sqrt{26}-1) = 2(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+.....+\sqrt{26}-\sqrt{25}) < S < 1 + 2.(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+....+\sqrt{25}-\sqrt{24}) = 1+ 2.(\sqrt{24}-1) < 1+2(\sqrt{25}-1) =9$