Toán 8 Chứng minh $\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\geq 1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

[Elishuchi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$. Chứng minh $\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\geq 1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

 

[Thánh Lầy Lội]

Sử dụng Cauchy-Schwarz, ta có:
[tex]\sqrt{a+bc}=\sqrt{a(a+b+c)+bc}=\sqrt{(a+b)(b+c)}\geqslant a+\sqrt{bc}[/tex]
Hoàn toàn tương tự ta có: [tex]\sqrt{b+ca}\geq b+\sqrt{ca};\sqrt{c+ab}\geq c+\sqrt{ab}[/tex]
Cộng lại và sử dụng a+b+c=1 ta có điều phải chứng minh

 

[Elishuchi]

Sử dụng Cauchy-Schwarz, ta có:
[tex]\sqrt{a+bc}=\sqrt{a(a+b+c)+bc}=\sqrt{(a+b)(b+c)}\geqslant a+\sqrt{bc}[/tex]
Hoàn toàn tương tự ta có: [tex]\sqrt{b+ca}\geq b+\sqrt{ca};\sqrt{c+ab}\geq c+\sqrt{ab}[/tex]
Cộng lại và sử dụng a+b+c=1 ta có điều phải chứng minh

bạn nêu rõ bđt và cách cm rõ hơn được ko

 

[Học Trò Của Sai Lầm]

bạn nêu rõ bđt và cách cm rõ hơn được ko

BĐT Cauchy-Schwarz: (a^2+x^2)(b^2+y^2) >= (ax+by)^2 áp dụng cho căn(a);căn(b);căn(b);căn(c)

 

[Elishuchi]

BĐT Cauchy-Schwarz: (a^2+x^2)(b^2+y^2) >= (ax+by)^2 áp dụng cho căn(a);căn(b);căn(b);căn(c)

như thế thì ra √(a+b)(b+c)≥√ab+√bc

 

[Học Trò Của Sai Lầm]

như thế thì ra √(a+b)(b+c)≥√ab+√bc

Lúc đó t viết nhầm phải là >= b+căn(ac), các cái còn lại tương tự

 

[Ann Lee]

Sử dụng Cauchy-Schwarz, ta có:
[tex]\sqrt{a+bc}=\sqrt{a(a+b+c)+bc}=\sqrt{(a+b)(b+c)}\geqslant a+\sqrt{bc}[/tex]

Lúc đó t viết nhầm phải là >= b+căn(ac), các cái còn lại tương tự

Thật ra thì cái dòng đấy phải là như này :3
[tex]\sqrt{a+bc}=\sqrt{a(a+b+c)+bc}=\sqrt{(a+b)(a+c)}\geq a+\sqrt{bc}[/tex]

 

[Học Trò Của Sai Lầm]

Thật ra thì cái dòng đấy phải là như này :3
[tex]\sqrt{a+bc}=\sqrt{a(a+b+c)+bc}=\sqrt{(a+b)(a+c)}\geq a+\sqrt{bc}[/tex]

Ồ, viết tích nhầm