Toán 11 Chứng minh số chính phương

[khanhduytili1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $$n$$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu $$2n^2$$ là hiệu của hai số lập phương chẵn liên tiếp nào đó, thì $$n-1$$ là số chính phương

 

[7 1 2 5]

Đặt [TEX]2n^2=(2x+2)^3-(2x)^3 \Rightarrow n^2=4(3x^2+3x+1)=3(4x^2+4x+1)+1 \Rightarrow n^2-3(2x+1)^2=1[/TEX]
Theo phương trình Pell thì công thức nghiệm phương trình trên là [TEX]n=a_i;2x+1=b_i[/TEX] với $$\left\{\begin{matrix} a_0=1,a_1=2,a_{i+2}=4a_{i+1}-a_i\\ b_0=0,b_1=1,b_{i+2}=4b_{i+1}-b_i \end{matrix}\right.$$
Nhận thấy [TEX]b_i \not \vdots 2 \Leftrightarrow i \vdots 2[/TEX]
Từ đó ta có [TEX]n=a_{2i}=\frac{\sqrt{3}}{6}(\frac{2+\sqrt{3}}{2})^{2i+1}+\frac{\sqrt{3}}{6}(\frac{2-\sqrt{3}}{2})^{2i+1}[/TEX]
Tới đây bạn chỉ cần chứng minh [TEX]n-1[/TEX] là số chính phương nữa nhé.

Nếu có gì thắc mắc bạn có thể hỏi tại đây, chúng mình luôn sẵn sàng giúp đỡ.
Chúc bạn học tốt.

 

[khanhduytili1]

Đặt [TEX]2n^2=(2x+2)^3-(2x)^3 \Rightarrow n^2=4(3x^2+3x+1)=3(4x^2+4x+1)+1 \Rightarrow n^2-3(2x+1)^2=1[/TEX]
Theo phương trình Pell thì công thức nghiệm phương trình trên là [TEX]n=a_i;2x+1=b_i[/TEX] với $$\left\{\begin{matrix} a_0=1,a_1=2,a_{i+2}=4a_{i+1}-a_i\\ b_0=0,b_1=1,b_{i+2}=4b_{i+1}-b_i \end{matrix}\right.$$
Nhận thấy [TEX]b_i \not \vdots 2 \Leftrightarrow i \vdots 2[/TEX]
Từ đó ta có [TEX]n=a_{2i}=\frac{\sqrt{3}}{6}(\frac{2+\sqrt{3}}{2})^{2i+1}+\frac{\sqrt{3}}{6}(\frac{2-\sqrt{3}}{2})^{2i+1}[/TEX]
Tới đây bạn chỉ cần chứng minh [TEX]n-1[/TEX] là số chính phương nữa nhé.

Nếu có gì thắc mắc bạn có thể hỏi tại đây, chúng mình luôn sẵn sàng giúp đỡ.
Chúc bạn học tốt.

Tạo sao $$b_{i}$$ không chia hết cho 2 thì $$i\vdots 2 nhỉ ?$$

 

[7 1 2 5]

Tạo sao $$b_{i}$$ không chia hết cho 2 thì $$i\vdots 2 nhỉ ?$$

Cái này bạn có thể chứng minh bằng quy nạp nhé.