Toán 8 Chứng minh rằng

kido2006

TMod Toán
Cu li diễn đàn
26 Tháng một 2018
1,485
1
2,365
266
Bắc Ninh
THPT Chuyên Bắc Ninh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng thảo luận với các CAO THỦ trên mọi miền tổ quốc. Hoàn toàn miễn phí!

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng: [tex]\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ca}{c+a}+\frac{c+ab}{a+b}\geq 2[/tex]
Mọi người giúp mình bài này với. Mình cảm ơn :D
 

Mộc Nhãn

TMod Toán
Cu li diễn đàn
19 Tháng một 2019
6,301
10,584
1,116
16
Hà Tĩnh
THPT Chuyên Hà Tĩnh
[tex]\frac{a+bc}{b+c}=\frac{a.1+bc}{b+c}=\frac{a(a+b+c)+bc}{b+c}=\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}[/tex] . Làm tương tự với mấy cái còn lại.
Đặt [tex]a+b=x,a+c=y,b+c=z[/tex]. BĐT cần chứng minh trở thành: [tex]\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}\geq 2[/tex]
Tới đây có rất nhiều cách làm, thông dụng nhất là Cauchy...
 
  • Like
Reactions: kido2006

ankhongu

Học sinh tiến bộ
Thành viên
17 Tháng tám 2018
1,063
719
151
16
Hà Nội
Dong Da secondary school
[tex]\frac{a+bc}{b+c}=\frac{a.1+bc}{b+c}=\frac{a(a+b+c)+bc}{b+c}=\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}[/tex] . Làm tương tự với mấy cái còn lại.
Đặt [tex]a+b=x,a+c=y,b+c=z[/tex]. BĐT cần chứng minh trở thành: [tex]\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}\geq 2[/tex]
Tới đây có rất nhiều cách làm, thông dụng nhất là Cauchy...
Phải là [tex]\frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} + \frac{zx}{y} \geq 2[/tex] Chứ ! Đến đây bđt phụ a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ca là ok, nhớ x + y + z = 2 là được
 
  • Like
Reactions: kido2006

kido2006

TMod Toán
Cu li diễn đàn
26 Tháng một 2018
1,485
1
2,365
266
Bắc Ninh
THPT Chuyên Bắc Ninh
[tex]\frac{a+bc}{b+c}=\frac{a.1+bc}{b+c}=\frac{a(a+b+c)+bc}{b+c}=\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}[/tex] . Làm tương tự với mấy cái còn lại.
Đặt [tex]a+b=x,a+c=y,b+c=z[/tex]. BĐT cần chứng minh trở thành: [tex]\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}\geq 2[/tex]
Tới đây có rất nhiều cách làm, thông dụng nhất là Cauchy...
Hình như anh viết sai chỗ [tex]\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}\geq 2[/tex] rùi ạ
 

mbappe2k5

Học sinh gương mẫu
Thành viên
7 Tháng tám 2019
2,577
2,113
336
Hà Nội
Trường Đời
Anh giải nốt gộ em đx không ạ. Em cx giải ra đc giông anh rùi ạ :D
Em tự làm được mà, đến đoạn này dễ rồi.
[tex]VT=\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{xyz}\geq \frac{xy.yz+yz.zx+zx.xy}{xyz}=\frac{xyz(x+y+z)}{xyz}=x+y+z=2(a+b+c)=2[/tex] nhờ sử dụng BĐT mà @ankhongu đã nhắc đến :D
 
  • Like
Reactions: kido2006
Top Bottom