Chứng minh rằng

B

baochauhn1999

Câu 1

ledinhlocpt said:
CMR nếu $ a^3 $ + $ b^3 $ + $ c^3 $ =3abc và a;b;c là các số dương thì a=b=c
CMR nếu $ a^4 $ + $ b^4 $ + $ c^4 $ + $ d^4 $ = 3abcd và a;b;c;d là các số dương thì a=b=c=d
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Câu 1:
$ a^3 $ + $ b^3 $ + $ c^3 $ =3abc
<=> $ a^3 $ + $ b^3 $ + $ c^3 $ - 3abc = 0
<=> (a+b+c)( $ a^2 $ + $ b^2 $ + $ c^2 $ - ab - bc - ac ) =0 ( hằng đẳng thức )
<=> 1/2(a+b+c)[$ (a+b)^2 $ + $ (b+c)^2 $ + $ (a+c)^2 $] =0
<=> (a+b+c)[$ (a+b)^2 $ + $ (b+c)^2 $ + $ (a+c)^2 $] =0
<=> hoặc a+b+c=0 hoặc $ (a+b)^2 $ + $ (b+c)^2 $ + $ (a+c)^2 $ =0
<=> hoặc a+b+c=0 hoặc a=b=c
 
X

xuan_nam

baochauhn1999 said:
Câu 1:
$ a^3 $ + $ b^3 $ + $ c^3 $ =3abc
<=> $ a^3 $ + $ b^3 $ + $ c^3 $ - 3abc = 0
<=> (a+b+c)( $ a^2 $ + $ b^2 $ + $ c^2 $ - ab - bc - ac ) =0 ( hằng đẳng thức )
<=> 1/2(a+b+c)[$ (a+b)^2 $ + $ (b+c)^2 $ + $ (a+c)^2 $] =0
<=> (a+b+c)[$ (a+b)^2 $ + $ (b+c)^2 $ + $ (a+c)^2 $] =0
<=> hoặc a+b+c=0 hoặc $ (a+b)^2 $ + $ (b+c)^2 $ + $ (a+c)^2 $ =0
<=> hoặc a+b+c=0 hoặc a=b=c
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


Bạn làm sai một chỗ. Sửa lại thì bài bạn OK.

[TEX]a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \Rightarrow (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc) = 0 \Rightarrow \frac{1}{2}(a + b + c)[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2] = 0 \Rightarrow (a + b + c)[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2] = 0[/TEX]

Do a,b,c > 0 nên a + b +c > 0

Từ đó suy ra [TEX](a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0 \Rightarrow a - b = b - c = c - a = 0 \Rightarrow a = b = c [/TEX]
 
X

xuan_nam

Đề bài 2 có nhầm không vậy bạn?
Mình nghĩ đề phải sửa 3abcd → 4abcd thì mới giải được.

[TEX]a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = 4abcd \Rightarrow a^4 + b^4 + c^4 + d^4 - 4abcd = 0 \Rightarrow a^4 + b^4 - 2a^2b^2 + c^4 + d^4 - 2c^2d^2 + 2a^2b^2 + 2c^2d^2 - 4abcd = 0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow(a^2 - b^2)^2 + (c^2 - d^2)^2 + 2(ab - cd)^2 = 0[/TEX]

[TEX]a^2 = b^2 ; c^2 = d^2 ; ab = cd [/TEX]

Do a,b,c,d > 0 nên a = b; c = d; ab = cd \Rightarrow a = b= c = d
 
B

buidoi222

Mấy bạn học giỏi ơi giúp mình với

cho x+y+z =1 và x,y,z>0. Tính GTNN của : xyz(x+y)(y+z)(z+x). Và tính x,y,z trong trường hợp đó
Xin các bạn làm giùm mình nhanh lên vs
 
Last edited by a moderator:
H

huuthuyenrop2

đề 2 sai nhé

$a^4 + b^4 + c^4 + d^4 \geq 2a^2b^2+2c^2d^2 \geq 2.2abcd \geq 4abcd$ ( bất đẳn thức cauchy)
cái này cũng đúng với cauchy bậc 4
 
C

congchuaanhsang

Áp dụng Cauchy cho 3 số

xyz\leq$( \dfrac{x+y+z}{3} )^3$=$\dfrac{1}{27}$

(x+y)(y+z)(z+x)\leq$( \dfrac{2(x+y+z)}{3} )^3$=$\dfrac{8}{27}$

Từ đó giải được bài toán
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom