Nhận thấy rằng phép nghịch đảo tâm [TEX]H[/TEX], phương tích [TEX]HA.HD[/TEX] và phép nghịch đảo tâm $G$, phương tích $\frac{a^2+b^2+c^2}{18}$ đều có [tex](\varepsilon )\leftrightarrow (O)[/tex] với [TEX](\varepsilon )[/TEX] là đường tròn Euler của [TEX]\Delta ABC[/TEX].
Gọi giao điểm 2 tiếp tuyến tại [TEX]P,Q[/TEX] của [TEX](O)[/TEX] là [TEX]E[/TEX], đường cao [TEX]BR,CS[/TEX] của $\Delta ABC$.
Theo định lí La Hire thì [TEX]BC[/TEX] đi qua điểm [TEX]E[/TEX]. Ta lại có [TEX](ED,BC)=-1[/TEX] nên [TEX]E[/TEX] là giao điểm của [TEX]RS[/TEX] với [TEX]BC[/TEX].
Giả sử [TEX]HQ[/TEX] cắt [TEX](\varepsilon )[/TEX] tại điểm [TEX]Y_1[/TEX] sao cho [TEX]H[/TEX] nằm giữa [TEX]Y_1,Q[/TEX]; [TEX]HP[/TEX] cắt [TEX](\varepsilon )[/TEX] tại điểm [TEX]X_1[/TEX] sao cho [TEX]H[/TEX] nằm giữa [TEX]P,X_1[/TEX].
Khi đó ta có [TEX]I_{H}^{HA.HD}: Q \leftrightarrow Y_1, P \leftrightarrow X_1[/TEX] nên [TEX]PQX_1Y_1[/TEX] nội tiếp.
Ta thấy rằng [TEX]EP^2-EH^2=ED.EM-ED^2-DH^2=ED.DM-DH^2[/TEX].
Vì [TEX](ED,BC)=-1 \Rightarrow DH.DA=DB.DC=DE.DM \Rightarrow EP^2-EH^2=HA.HD=HQ.HY_1[/TEX].
Gọi Z là trung điểm [TEX]HP[/TEX].
Giả sử [TEX]E'[/TEX] là tâm của [TEX](PQX_1Y_1)[/TEX] thì theo hệ thức phương tích thì [TEX]E'P^2-E'H^2=HA.HD \Rightarrow E'P^2-E'H^2=EP^2-EH^2 \Rightarrow \vec{E'Z}.\vec{HP}=\vec{EZ}.\vec{HP} \Rightarrow \vec{HP}.\vec{EE'}=0 \Rightarrow E \equiv E'[/TEX]
Vậy E là tâm của [TEX](PQX_1Y_1)[/TEX].
Bây giờ gọi $X_2,Y_2$ là giao điểm của $GQ, GP$ với $(\varepsilon )$ sao cho $X_2$ nằm giữa $G, Q$, $Y_2$ nằm giữa $G,P$.
Xét $I_{G}^{\frac{a^2+b^2+c^2}{18}} : Q \leftrightarrow X_2, P \leftrightarrow Y_2$ nên [TEX]PQX_2Y_2[/TEX] nội tiếp.
Vẽ $GJ \perp BC$.
Lại có: $EG^2-EP^2=EJ^2+JG^2-EB.EC=(EM-\frac{MD}{3})^2+\frac{AD^2}{9}-EM(EM-MD)=\frac{MD^2}{9}+\frac{1}{3}EM.MD+\frac{AD^2}{9}$
$=\frac{AM^2}{9}+\frac{1}{3}.MB^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{36}+\frac{a^2}{12}=\frac{a^2+b^2+c^2}{18}=GY_2.GP$ nên $E$ là tâm của $(PQX_2Y_2)$
Suy ra $X_1 \equiv X_2 \equiv X,Y_1 \equiv Y_2 \equiv Y$ hay $PQXY$ nội tiếp $(\varepsilon )$.
Mà $EY^2=EP^2=EB.EC=ER.ES=ED.EM$ nên $EY$ là tiếp tuyến của $(\varepsilon )$
Tương tự $EX$ cũng là tiếp tuyến của $(\varepsilon )$, mà $E$ nằm trên DM nên theo định nghĩa, $DXMY$ là tứ giác điều hòa.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
