Toán 11 Chứng minh $|q|<1$ thì $\lim q^n=0$

boywwalkman

Học sinh chăm học
Thành viên
30 Tháng bảy 2021
439
425
61
17
Quảng Nam
THPT chuyên Lê Thánh Tông
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng thảo luận với các CAO THỦ trên mọi miền tổ quốc. Hoàn toàn miễn phí!

Mọi người giúp em làm câu này với ạ:
Chứng minh nếu |q|<1 thì lim [tex]q^n[/tex] =0 với định lí sau:
Cho hai dãy số [tex](u_{n})[/tex] và [tex](v_{n})[/tex]
nếu [tex]|u_{n}|\leq v_{n}[/tex] với mọi n thì [tex]limu_{n}[/tex] = [tex]limv_{n}[/tex]
Em cảm ơn.
 

Cáp Ngọc Bảo Phương

TMod Toán
Cu li diễn đàn
8 Tháng mười một 2021
924
2
1,536
171
Bà Rịa - Vũng Tàu
Mọi người giúp em làm câu này với ạ:
Chứng minh nếu |q|<1 thì lim [tex]q^n[/tex] =0 với định lí sau:
Cho hai dãy số [tex](u_{n})[/tex] và [tex](v_{n})[/tex]
nếu [tex]|u_{n}|\leq v_{n}[/tex] với mọi n thì [tex]limu_{n}[/tex] = [tex]limv_{n}[/tex]
Em cảm ơn.

Xét: $0<q<1$
Đặt $\dfrac{1}{q^n}=(1+p)^n\ge 1+pn\: (p>0)$ (BĐT Bernoulli)
$\Rightarrow 0<q^n\le \dfrac{1}{1+pn}$
Ta có: $\lim \dfrac{1}{1+pn}=0$
Suy ra $\lim q^n=0$
$\Rightarrow \lim |q^n| =0$
$\Rightarrow \lim q^n=0$ đúng cho cả trường hợp $-1<q<0$
Câu sau em có nhầm gì không nhỉ
nếu $u_n=\dfrac{1}{n}\quad v_n=n$
thì $|u_n|\le v_n\: \forall n\in \mathbb{N}$
Mà $\lim u_n=0;\: \lim v_n=+\infty$
 

boywwalkman

Học sinh chăm học
Thành viên
30 Tháng bảy 2021
439
425
61
17
Quảng Nam
THPT chuyên Lê Thánh Tông
Xét: $0<q<1$
Đặt $\dfrac{1}{q^n}=(1+p)^n\ge 1+pn\: (p>0)$ (BĐT Bernoulli)
$\Rightarrow 0<q^n\le \dfrac{1}{1+pn}$
Ta có: $\lim \dfrac{1}{1+pn}=0$
Suy ra $\lim q^n=0$
$\Rightarrow \lim |q^n| =0$
$\Rightarrow \lim q^n=0$ đúng cho cả trường hợp $-1<q<0$
Câu sau em có nhầm gì không nhỉ
nếu $u_n=\dfrac{1}{n}\quad v_n=n$
thì $|u_n|\le v_n\: \forall n\in \mathbb{N}$
Mà $\lim u_n=0;\: \lim v_n=+\infty$
Chị ơi sgk họ ghi chứng minh được cái em ghi bằng định lí trên ạ
 

Cáp Ngọc Bảo Phương

TMod Toán
Cu li diễn đàn
8 Tháng mười một 2021
924
2
1,536
171
Bà Rịa - Vũng Tàu
Dạ trang 129 sgk đại số và giải tích 11 nâng cao ạ

upload_2022-1-19_19-27-35.png

$\lim v_n=0$ thì $\lim u_n=0$ nó không có nghĩa là $\lim v_n=\lim u_n$ nha em
định lí phát biểu sao mình chỉ được làm i chang v không có được xuyên tạc nha.
ở khúc này nếu là áp dụng định lí đó thì là
$\Rightarrow |q^n|\le \dfrac{1}{1+pn}$
Mà $\lim \dfrac{1}{1+pn}=0$
nên $\lim q_n=0$
Không biết em biết chưa nhưng chị muốn giới thiệu em thêm Nguyên lí kẹp, định lí trên chỉ là một trường hợp thôi.
Cho các dãy số $(x_n),(y_n),(z_n)$ thỏa
$y_n\le x_n\le z_n\: \forall x\ge k\: $ ($k$ là một số tự nhiên cho trước)
nếu $\lim y_n=\lim z_n=a$ thì $\lim x_n=a$
 
Top Bottom