Cho tam giác ABC nội tiếp (O), trực tâm H, trung tuyến AM, đường cao AD. Đường thẳng qua A vuông HM cắt HM tại G. P, Q lần lượt là trung điểm GA,GH. H' đối xứng H qua QO. Trung trực DM cắt QH' tại K
Chứng minh MP là phân giác của góc GMK
David WindLời giải của
@David Wind chia sẻ để mng tham khảo:
Cho [imath]\mathrm{QH}[/imath] ' cắt đường thẳng đối xứng vs [imath]\mathrm{MG}[/imath] qua [imath]\mathrm{MP}[/imath] tại [imath]\mathrm{K}[/imath] thì [imath]\mathrm{S}[/imath] là tâm nội tiếp [imath]\triangle \mathrm{KMQ}[/imath] ( [imath]\mathrm{S}[/imath] là giao điểm [imath]QO,PM)[/imath]
Do [imath]\mathrm{POMQ}[/imath] là hình bình hành nên nếu cho [imath]\mathrm{KQ}, \mathrm{KM}[/imath] cắt [imath]\mathrm{PO}[/imath] tại [imath]\mathrm{T}, \mathrm{U}[/imath] thì [imath]\mathrm{TUMQ}[/imath] ngoại tiếp.
Ta cần cm [imath]K R[/imath] vuông [imath]B C[/imath] ( [imath]R[/imath] là trung điểm [imath]M D[/imath] )
- (S) tiếp xúc [imath]M Q[/imath] tại [imath]\mathrm{V}, \mathrm{A} 1[/imath] là tiếp điểm bàng góc [imath]\mathrm{K}[/imath] của [imath]\triangle \mathrm{KQM}[/imath] thì [imath]\mathrm {WA1 // OM }[/imath] ( [imath]\mathrm{W}[/imath] là tiếp điểm của [imath]\mathrm{(S)}[/imath] vs [imath]\mathrm{PO}[/imath] )
- Do [imath]\mathrm{SV}=\mathrm{SW}=\dfrac{1}{ 2} \mathrm{GP}=\dfrac{1}{ 2} \mathrm{PA}[/imath] nên [imath]\mathrm{A}, \mathrm{W}, \mathrm{M}[/imath] thẳng
- Theo tính chất bàng tiếp quen thuộc thì [imath]\mathrm{K}, \mathrm{W}, \mathrm{A} 1[/imath] thẳng mà [imath]WA1//OM[/imath] và [imath]W[/imath] là trung điểm [imath]\mathrm{AM}[/imath] nên [imath]=>\mathrm{đpcm}[/imath]
Tặng bạn đọc topic trọn bộ kiến thức:
Trọn bộ kiến thức học tốt các môn
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
