Toán Chứng minh (π) pi là số vô tỉ

[Nguyễn Thị Huyền Diệu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Ta biết rằng π là một số vô tỉ ,tưc tỉ số giữa chu vi đường tròn và bán kính của nó luôn là một số vô tỉ. Nhưng vì sao lại có điều này ? Rằng π là một hằng số nhưng không phải là một hằng số hữu tỉ mà là một hằng số vô tỉ.
Cac bạn xem bài chứng minh π là số vô tỉ sau nhé !

Như vậy số π là một con số rât đặc biệt mà phần thập phân của nó không bao giờ lặp lại tuần hoàn cả. giống như cuộc đời này vậy tương lai luôn có cái mới lạ không bao giờ lặp lại những cái đã qua trong quá khứ. Chúc các bạn luôn tìm được những cái hay cái mới trong toán học cũng như trong cuộc sống giống như sự kì vĩ, bí ẩn và bất tận của số π.

 

[Nguyễn Thị Huyền Diệu]

Cac bạn xem bài chứng minh π là số vô tỉ sau nhé !

SUY LUẬN VỀ TÍNH CHÂT VÔ TỈ CỦA SỐ π

Trươc hết ta chứng minh phương trình x = sinx có nghiệm thực duy nhât x = 0. Thật vậy x = sinx ↔ h(x) = x − sinx = 0 → h’(x) = 1 – cosx > 0 → h(x) đồng biến mà h(0) = 0 → x ≠ 0 thì h(x) ≠ h(0) → x ≠ 0 thì x ≠ sinx.

Vì sinx có quan hệ siêu việt với x và sinx ≠ x (Ɐx ϵ R*) nên ta có phương trình sinx = f(x) với f là hàm số sơ cấp bât kì của biến x (chú ý f ≠ sin , f ≠ c = const) nếu có nghiệm khác 0 là thì nghiệm đó phải là một số siêu việt.

Từ đó mà phương trình: f(x,sinx) = sin(x/2sinx) −1/2 = 0 có f là hàm số sơ cấp của hai biến x và sinx nên nó có nghiệm số siêu việt. Và ta thấy x = π/6 là một nghiệm thỏa mãn phương trình đã cho. Nên nghiệm x = π/6 là số siêu việt. khi π/6 là số siêu việt thì suy ra π phải là số siêu việt. và khi π là số siêu việt thì cũng có nghĩa rằng nó là số vô tỉ.□

 

[Nguyễn Thị Huyền Diệu]

Sau đây là một chứng minh khac khá giản đơn về số π là một số vô tỉ. Các bạn theo dõi nhá:

SUY LUẬN VỀ TÍNH CHÂT VÔ TỈ CỦA SỐ π
Ta có sina luôn là một số siêu việt với a là số đại số (số là nghiệm của phương trình đa thưc hệ số nguyên) và a ≠ 0.
Từ đó mà sina = b với a là số đại số (a ≠ 0) thì b là số siêu việt.
Nên nếu sina = 1 thì a không thể là số đại số vì nếu thế thì 1 phải là số siêu việt mâu thuẫn. Dẫn đến sina = 1 thì a là số siêu việt mà ta có sin(π/2) = 1 nên a = π/2 là số siêu việt. Do đó π là số siêu việt nên π là số vô tỉ