Toán 8 Chứng minh nhỏ hơn hoặc bằng khi cho [tex]a,b,c>0[/tex]; [tex]a+b+c=1[/tex]

[Junery N]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]a,b,c>0[/tex]; [tex]a+b+c=1[/tex].
Chứng minh rằng: [tex]\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\leq \frac{1}{2}[/tex]
Thanks

 

[Takudo]

[tex]a+b\geq 2\sqrt{ab} \\ \Rightarrow \frac{ab}{a+b}\leq \frac{ab}{2\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}}{2} \\ \Rightarrow VT\leq \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}[/tex]
Cần CM: [tex]VT\leq \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\leq 1 \\ \Rightarrow \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\leq a+b+c \\ \Rightarrow (a+b-2\sqrt{ab})+(b+c-2\sqrt{bc})+(c+a-2\sqrt{ac})\geq 0 (luôn \ đúng)[/tex]
=> đpcm

"=" a=b=c=1/3

*đoạn cuối t thích biến đổi tương đương đấy, thế nhé (dùng AM-GM thì nhanh hơn nha)