Toán 9 Chứng minh hình học

[AlexisBorjanov]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp O. Trung tuyến AM của tam giác cắt lại (O) tại N (N khác A). Kẻ ME vuông góc AB, MF vuông góc AC (E nằm trên AB, F nằm trên AC).
1) CMR tứ giác AEMF nội tiếp (đã làm)
2) Gọi đường tròn mà AEMF nội tiếp là (ε) (epsilon). Gọi Q là giao điểm thứ hai của (ε) và (O), K là điểm đối xứng với A qua O. CMR Q, M, K thẳng hàng và 2 tam giác MEF, NBC đồng dạng với nhau.
3) Lấy P là trung điểm EF. CMR [tex]\frac{NB}{ME}=\frac{MB}{PE}; PM//OA[/tex].
Em xin cảm ơn!

Note: Trong hình vẽ D là tâm đường tròn (ε), X chỉ dùng để xác định bán kính (O)

 

[Blue Plus]

2.
Nhận xét đường tròn $(\epsilon)$ có đường kính $AM\Rightarrow \widehat{AQM}=90^{\circ}$.
$AK$ là đường kính của đường tròn $(O)$ nên $\widehat{AQK}=90^{\circ}$. Suy ra $Q,M,K$ thẳng hàng.
Ta có: $\widehat{EMF}=\widehat{BNC}$ (cùng bù $\widehat{BAC}$)
$\widehat{MEF}=\widehat{MAF}=\widehat{NAC}=\widehat{NBC}$
Suy ra $\triangle MEF ~ \triangle NBC$.
3.
Từ $\triangle MEF ~ \triangle NBC\Rightarrow \dfrac{NB}{ME}=\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{\dfrac12BC}{\dfrac12EF}=\dfrac{MB}{PE}$
Lại có $\widehat{PEM}=\widehat{MBN}\Rightarrow \triangle MEP ~ \triangle NBM \Rightarrow \widehat{EMP}=\widehat{BNM}$.
Gọi $I$ là giao điểm của $EM$ và $AK$, ta có: $\widehat{EIA}=90^{\circ}-\widehat{BAK}=\widehat{BKA}=\widehat{BNM}$
Do đó $\widehat{EMP}=\widehat{EIA}\Rightarrow MP\parallel AK$ (2 góc đồng vị bằng nhau) hay $MP\parallel AO$.