[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Toán 8 Chứng minh hình học
- Thread starter Nguyễn Thanh Bảo
- Ngày gửi
- Replies 1
- Views 364
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
- 27 Tháng năm 2020
- 620
- 1,103
- 146
- 16
- Vĩnh Phúc
- THCS Vĩnh Yên
Làm câu 5, vì trông nó khá thú vị =)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
[tex]\frac{2(a^2+b^2)}{(a-b)^2}+\frac{2(b^2+c^2)}{(b-c)^2}+\frac{2(c^2+a^2)}{(c-a)^2}\geq 5[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{(a+b)^2+(a-b)^2)}{(a-b)^2}+\frac{(b+c)^2+(b-c)^2}{(b-c)^2}+\frac{(c+a)^2+(c-a)^2}{(c-a)^2}\geq 5[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}+\frac{(b+c)^2}{(b-c)^2}+\frac{(c+a)^2}{(c-a)^2}\geq 2[/tex]
Ta có [tex](\frac{a+b}{a-b}+1)(\frac{b+c}{b-c}+1)(\frac{c+a}{c-a}+1)=(\frac{a+b}{a-b}-1)(\frac{b+c}{b-c}-1)(\frac{c+a}{c-a}-1)=\frac{8abc}{(a-b)(b-c)(c-a)}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}+\frac{(a+b)(b+c)}{(a-b)(b-c)}+\frac{(b+c)(c+a)}{(b-c)(c-a)}+\frac{(a+b)(c+a)}{(a-b)(c-a)}+\frac{a+b}{a-b}+\frac{b+c}{b-c}+\frac{c+a}{c-a}+1=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}-\frac{(a+b)(b+c)}{(a-b)(b-c)}-\frac{(b+c)(c+a)}{(b-c)(c-a)}-\frac{(a+b)(c+a)}{(a-b)(c-a)}+\frac{a+b}{a-b}+\frac{b+c}{b-c}+\frac{c+a}{c-a}-1[/tex]
(Nhân tung ra có hơi dài...)
$\Rightarrow \frac{(a+b)(b+c)}{(a-b)(b-c)}+\frac{(b+c)(c+a)}{(b-c)(c-a)}+\frac{(a+b)(c+a)}{(a-b)(c-a)}=-1$
Mặt khác, [tex](\frac{a+b}{a-b}+\frac{b+c}{b-c}+\frac{c+a}{c-a})^{2}\geq 0[/tex]
$\Rightarrow \Leftrightarrow \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}+\frac{(b+c)^2}{(b-c)^2}+\frac{(c+a)^2}{(c-a)^2}\geq -2[\frac{(a+b)(b+c)}{(a-b)(b-c)}+\frac{(b+c)(c+a)}{(b-c)(c-a)}+\frac{(a+b)(c+a)}{(a-b)(c-a)}]=2$
Từ đó ta có điều phải chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi [tex](a;b;c)=(k;0;-k)[/tex] và các hoán vị $(k>0)$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
[tex]\frac{2(a^2+b^2)}{(a-b)^2}+\frac{2(b^2+c^2)}{(b-c)^2}+\frac{2(c^2+a^2)}{(c-a)^2}\geq 5[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{(a+b)^2+(a-b)^2)}{(a-b)^2}+\frac{(b+c)^2+(b-c)^2}{(b-c)^2}+\frac{(c+a)^2+(c-a)^2}{(c-a)^2}\geq 5[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}+\frac{(b+c)^2}{(b-c)^2}+\frac{(c+a)^2}{(c-a)^2}\geq 2[/tex]
Ta có [tex](\frac{a+b}{a-b}+1)(\frac{b+c}{b-c}+1)(\frac{c+a}{c-a}+1)=(\frac{a+b}{a-b}-1)(\frac{b+c}{b-c}-1)(\frac{c+a}{c-a}-1)=\frac{8abc}{(a-b)(b-c)(c-a)}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}+\frac{(a+b)(b+c)}{(a-b)(b-c)}+\frac{(b+c)(c+a)}{(b-c)(c-a)}+\frac{(a+b)(c+a)}{(a-b)(c-a)}+\frac{a+b}{a-b}+\frac{b+c}{b-c}+\frac{c+a}{c-a}+1=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}-\frac{(a+b)(b+c)}{(a-b)(b-c)}-\frac{(b+c)(c+a)}{(b-c)(c-a)}-\frac{(a+b)(c+a)}{(a-b)(c-a)}+\frac{a+b}{a-b}+\frac{b+c}{b-c}+\frac{c+a}{c-a}-1[/tex]
(Nhân tung ra có hơi dài...)
$\Rightarrow \frac{(a+b)(b+c)}{(a-b)(b-c)}+\frac{(b+c)(c+a)}{(b-c)(c-a)}+\frac{(a+b)(c+a)}{(a-b)(c-a)}=-1$
Mặt khác, [tex](\frac{a+b}{a-b}+\frac{b+c}{b-c}+\frac{c+a}{c-a})^{2}\geq 0[/tex]
$\Rightarrow \Leftrightarrow \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}+\frac{(b+c)^2}{(b-c)^2}+\frac{(c+a)^2}{(c-a)^2}\geq -2[\frac{(a+b)(b+c)}{(a-b)(b-c)}+\frac{(b+c)(c+a)}{(b-c)(c-a)}+\frac{(a+b)(c+a)}{(a-b)(c-a)}]=2$
Từ đó ta có điều phải chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi [tex](a;b;c)=(k;0;-k)[/tex] và các hoán vị $(k>0)$