Toán 11 Chứng minh hệ thức lượng trong tam giác

[Huỳnh Xuan Meo]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho A,B,C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng:
[tex]sinA +sinB -\frac{\sqrt{2}}{2}cosC\leq \sqrt{2}[/tex]

 

[iceghost]

Mấy dạng bài bđt lượng giác trong tam giác kiểu như thế này thì bạn cứ xài công thức cộng rồi sau đó tách hằng đẳng thức nhé:
$$\begin{aligned} VT &= \sin A + \sin B - \frac{\sqrt{2}}2 \cos C \\
&= 2 \sin \frac{A + B}2 \cos \frac{A - B}2 - \frac{\sqrt{2}}2 \cos C \\
&= 2 \cos \frac{C}2 \cos \frac{A - B}2 - \frac{\sqrt{2}}2 \left(2 \cos^2 \frac{C}2 - 1\right) \\
&= - \sqrt{2} \cos^2 \frac{C}2 + 2 \cos \frac{C}2 \cos \frac{A - B}2 + \frac{\sqrt{2}}2 \\
&= -\sqrt{2} \left( \cos \frac{C}2 - \frac{\sqrt{2}}2 \cos \frac{A - B}2 \right)^2 + \frac{\sqrt{2}}2 \cos^2 \frac{A - B}2 + \frac{\sqrt{2}}2 \\
&\leqslant 0 + \frac{\sqrt{2}}2 + \frac{\sqrt{2}}2 = \sqrt{2} \end{aligned}$$
Dấu '=' xảy ra khi...