Chứng minh GTTĐ

[tranduytrinh2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh |x|-|y| \leq |x-y|@-)@-)
Bài này khá khó. Ai rảnh chứng minh hộ em |x|+|y|\geq|x+y| luôn nha.

 

[nttuyen1996]

|x|-|y| \leq |x-y|
\Leftrightarrow (|X| -|Y|)^2 <= (|X-Y| )^2

\Leftrightarrowx^2 + y^2 - 2|xy| <= | x^2 +Y^2 -2xy|

\Leftrightarrow- 2|| <= |-2xy| (luôn đúng )

 

[nguyenbahiep1]

|x|-|y| \leq |x-y|

\Leftrightarrow (|X| -|Y|)^2 <= (|X-Y| )^2

\Leftrightarrowx^2 + y^2 - 2|xy| <= | x^2 +Y^2 -2xy|

\Leftrightarrow- 2|| <= |-2xy| (luôn đúng )

bạn làm thiếu trường hơp [TEX]|y| > |x|[/TEX] nhé

THường hợp bạn làm chỉ là [TEX]|x| \geq |y|[/TEX] thôi

chỉ khi 2 vế đều dương mới được bình phương 2 vế mà ko làm thay đổi dấu của bất phương trình

 

[minhtuyb]

-Nếu $|x|\le |y|$ thì $VP\ge 0\ge VT$
-Nếu $|x|\ge |y|$ thì:
$$|x|-|y|\le |x-y|\\ \Leftrightarrow (|x|-|y|)^2\le (x-y)^2\\ \Leftrightarrow x^2+y^2-2|xy|\le x^2-2xy+y^2\\ \Leftrightarrow |xy|\ge xy$$
Luôn đúng.

Tóm lại BĐT được chứng minh hoàn toàn, dấu bằng xảy ra khi $x=y$ hoặc $|x|\ge |y|,xy\ge 0$

*$|x|+|y|\ge |x+y|$ cũng bình phương như trên, nhưng không cần chia trường hợp. Dấu bằng xảy ra khi $xy\ge 0\ \square$