Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), AD giao BC tại P, BA giao CD tại Q. Đường thẳng qua Q vuông góc với AC cắt OP tại X. Chứng minh góc ABX=90
Yeah... Thú thật là mình không muốn dùng tới cách này, nhưng bài này nó cứ nổi lên mãi nên hôm nay mình quyết định làm luôn: số phức... *nhạc rùng rợn*
Ở đây mình lấy $\widehat{ABX} = 90^\circ$ rồi mình chứng minh $O, X, P$ thẳng hàng sau nhé.
Chọn $(O)$ là đường tròn đơn vị. Ký hiệu $a$ là số phức biểu diễn cho điểm $A$, $b$ cho $B$, ...
Ta có công thức giao điểm $AB$ và $CD$ trên đường tròn đơn vị: $q = \dfrac{ab(c + d) - cd(a + b)}{ab - cd}$
Tương tự: $p = \dfrac{ad(b + c) - bc(a + d)}{ad - bc}$
Có $QX \perp AC$ nên $\dfrac{x - q}{a - c} + \dfrac{\bar{x} - \bar{q}}{\bar{a} - \bar{c}} = 0$
Thay $\bar{a} = \dfrac{1}a$ và $\bar{b} = \dfrac{1}b$... ta được:
$\dfrac{x - q}{a - c} + \dfrac{ac(\bar{x} - \bar{q})}{c - a} = 0$
Suy ra $x - q - ac(\bar{x} - \bar{q}) = 0 \quad (1)$. Tương tự với $BX \perp AB$: $\dfrac{x - b}{a - b} + \dfrac{\bar{x} - \bar{b}}{\bar{a} - \bar{b}} = 0$
$\iff x - b - ab(\bar{x} - \bar{b}) = 0 \quad (2)$
Tính $b \times (1) - c \times (2)$ để khử $\bar{x}$ được:
$b(x - q) + abc \bar{q} - c(x - b) - abc \bar{b} = 0$
$\implies x(b - c) + abc \bar{q} - bq + bc - ac = 0$
Sau đó thay $q$ vào, bạn sẽ biến đổi ra: $x(b - c) = \dfrac{(b - c)(abd + acd - abc - bcd)}{ab - cd} = 0$
Suy ra $x = \dfrac{ad(b + c) - bc(a + d)}{ab - cd} = p \cdot \dfrac{ad - bc}{ab - cd}$
Tới đây ta có $\dfrac{ad - bc}{ab - cd} = \overline{\dfrac{ad - bc}{ab - cd}}$ nên đây là số thực, vậy $O, X, P$ thẳng hàng nên ta có đpcm. Cool!
Như vậy bài toán đơn giản, liên quan $1$ đường tròn thế này thì áp dụng số phức cũng ngon lành. Bạn có thể tham khảo cách làm này nhé
Chúc bạn học tốt!
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
