Toán 11 Chứng minh góc ABX bằng 90 độ

minhthinh746

Học sinh mới
Thành viên
15 Tháng chín 2021
4
3
6
16
Tiền Giang
THPT Chuyên Tiền Giang

iceghost

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT xuất sắc nhất 2016
20 Tháng chín 2013
5,014
7,437
891
TP Hồ Chí Minh
Đại học Bách Khoa TPHCM
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), AD giao BC tại P, BA giao CD tại Q. Đường thẳng qua Q vuông góc với AC cắt OP tại X. Chứng minh góc ABX=90
Yeah... Thú thật là mình không muốn dùng tới cách này, nhưng bài này nó cứ nổi lên mãi nên hôm nay mình quyết định làm luôn: số phức... *nhạc rùng rợn*

Ở đây mình lấy $\widehat{ABX} = 90^\circ$ rồi mình chứng minh $O, X, P$ thẳng hàng sau nhé.

Chọn $(O)$ là đường tròn đơn vị. Ký hiệu $a$ là số phức biểu diễn cho điểm $A$, $b$ cho $B$, ...

Ta có công thức giao điểm $AB$ và $CD$ trên đường tròn đơn vị: $q = \dfrac{ab(c + d) - cd(a + b)}{ab - cd}$

Tương tự: $p = \dfrac{ad(b + c) - bc(a + d)}{ad - bc}$

Có $QX \perp AC$ nên $\dfrac{x - q}{a - c} + \dfrac{\bar{x} - \bar{q}}{\bar{a} - \bar{c}} = 0$

Thay $\bar{a} = \dfrac{1}a$ và $\bar{b} = \dfrac{1}b$... ta được:

$\dfrac{x - q}{a - c} + \dfrac{ac(\bar{x} - \bar{q})}{c - a} = 0$

Suy ra $x - q - ac(\bar{x} - \bar{q}) = 0 \quad (1)$. Tương tự với $BX \perp AB$: $\dfrac{x - b}{a - b} + \dfrac{\bar{x} - \bar{b}}{\bar{a} - \bar{b}} = 0$

$\iff x - b - ab(\bar{x} - \bar{b}) = 0 \quad (2)$

Tính $b \times (1) - c \times (2)$ để khử $\bar{x}$ được:

$b(x - q) + abc \bar{q} - c(x - b) - abc \bar{b} = 0$

$\implies x(b - c) + abc \bar{q} - bq + bc - ac = 0$

Sau đó thay $q$ vào, bạn sẽ biến đổi ra: $x(b - c) = \dfrac{(b - c)(abd + acd - abc - bcd)}{ab - cd} = 0$

Suy ra $x = \dfrac{ad(b + c) - bc(a + d)}{ab - cd} = p \cdot \dfrac{ad - bc}{ab - cd}$

Tới đây ta có $\dfrac{ad - bc}{ab - cd} = \overline{\dfrac{ad - bc}{ab - cd}}$ nên đây là số thực, vậy $O, X, P$ thẳng hàng nên ta có đpcm. Cool!


Như vậy bài toán đơn giản, liên quan $1$ đường tròn thế này thì áp dụng số phức cũng ngon lành. Bạn có thể tham khảo cách làm này nhé :D

Chúc bạn học tốt!
 
Top Bottom