Toán 10 Chứng minh giao điểm của ML và PK nằm trên (O)

[David Wind]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC có nội tiếp (O) và ngoại tiếp (I). (I) tiếp xúc BC,CA,AB tại D,E,F. AI cắt DE tại Q. FQ cắt BC tại S (B,C cùng phía S). Gọi M,N,P lần lượt là giao điểm khác A của AI,AD,AS với (O). Tiếp tuyến tại N và B của (O) giao nhau tại K. NK cắt PB tại L. Chứng minh giao điểm của ML và PK nằm trên (O)

 

[2712-0-3]

Cho tam giác ABC có nội tiếp (O) và ngoại tiếp (I). (I) tiếp xúc BC,CA,AB tại D,E,F. AI cắt DE tại Q. FQ cắt BC tại S (B,C cùng phía S). Gọi M,N,P lần lượt là giao điểm khác A của AI,AD,AS với (O). Tiếp tuyến tại N và B của (O) giao nhau tại K. NK cắt PB tại L. Chứng minh giao điểm của ML và PK nằm trên (O)

David Wind

Mời bạn tham khảo thêm kiến thức về: Hàng điểm điều hòa và tứ giác điều hòa trong sách Tài liệu chuyên Toán 10 Hình học nhé

 

[7 1 2 5]

View attachment 214311

Mời bạn tham khảo thêm kiến thức về: Hàng điểm điều hòa và tứ giác điều hòa trong sách Tài liệu chuyên Toán 10 Hình học nhé

2712-0-3[imath]AD[/imath] cắt [imath](O)[/imath] tại [imath]N[/imath] nhé.

 

[7 1 2 5]

Bài trên đó đúng tới đoạn [imath]BNMP[/imath] là tứ giác điều hòa nên ta tiếp tục từ đó nhé.
Vì [imath]\Delta LNP \sim \Delta LBN[/imath] nên [imath]\dfrac{LN}{LB}=\dfrac{LP}{LN}=\dfrac{NP}{BN}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{LP}{LB}=(\dfrac{NP}{BN})^2[/imath]
Gọi [imath]G[/imath] là giao điểm [imath]KP[/imath] với [imath](O),[/imath] [imath]L[/imath] là giao điểm[imath]BP[/imath]với[imath]GM[/imath]thì ta có[imath]\Delta L'PM \sim \Delta L'GB[/imath]và[imath]\Delta L'PG \sim \Delta L'MB[/imath]
[imath]\Rightarrow \begin{cases} \dfrac{L'P}{L'G}=\dfrac{MP}{GB} \\ \dfrac{L'G}{L'B}=\dfrac{PG}{MB} \end{cases}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{L'P}{L'B}=\dfrac{MP \cdot PG}{GB \cdot MB}[/imath]
Để chứng minh [imath]L \equiv L'[/imath] thì ta chỉ cần chứng minh [imath](\dfrac{NP}{BN})^2=\dfrac{MP \cdot PG}{GB \cdot MB}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{NP^2 \cdot MB \cdot GB}{BN^2 \cdot MP \cdot PG}=1[/imath]
Nhận thấy [imath]BGNP[/imath] là tứ giác điều hòa nên [imath]BG \cdot NP=BP \cdot NG[/imath] và [imath]BN \cdot GP=2BP \cdot GN[/imath]
[imath]BNMP[/imath] là tứ giác điều hòa nên [imath]BN \cdot MP=BP \cdot MN[/imath] và [imath]BM \cdot NP=2BP \cdot MN[/imath]
Từ đó [imath]\dfrac{NP^2 \cdot MB \cdot GB}{BN^2 \cdot MP \cdot PG}=\dfrac{NP \cdot MB \cdot BP \cdot NG}{BP \cdot MN \cdot BN \cdot PG}[/imath]
[imath]=\dfrac{NP \cdot MB \cdot NG}{MN \cdot BN \cdot PG}[/imath]
[imath]=\dfrac{2BP \cdot MN \cdot NG}{2BP \cdot NG \cdot MN}=1[/imath]
Vậy ta có đpcm.

 

[2712-0-3]

Bài trên đó đúng tới đoạn [imath]BNMP[/imath] là tứ giác điều hòa nên ta tiếp tục từ đó nhé.
Vì [imath]\Delta LNP \sim \Delta LBN[/imath] nên [imath]\dfrac{LN}{LB}=\dfrac{LP}{LN}=\dfrac{NP}{BN}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{LP}{LB}=(\dfrac{NP}{BN})^2[/imath]
Gọi [imath]G[/imath] là giao điểm [imath]KP[/imath] với [imath](O),[/imath] [imath]L[/imath] là giao điểm[imath]BP[/imath]với[imath]GM[/imath]thì ta có[imath]\Delta L'PM \sim \Delta L'GB[/imath]và[imath]\Delta L'PG \sim \Delta L'MB[/imath]
[imath]\Rightarrow \begin{cases} \dfrac{L'P}{L'G}=\dfrac{MP}{GB} \\ \dfrac{L'G}{L'B}=\dfrac{PG}{MB} \end{cases}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{L'P}{L'B}=\dfrac{MP \cdot PG}{GB \cdot MB}[/imath]
Để chứng minh [imath]L \equiv L'[/imath] thì ta chỉ cần chứng minh [imath](\dfrac{NP}{BN})^2=\dfrac{MP \cdot PG}{GB \cdot MB}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{NP^2 \cdot MB \cdot GB}{BN^2 \cdot MP \cdot PG}=1[/imath]
Nhận thấy [imath]BGNP[/imath] là tứ giác điều hòa nên [imath]BG \cdot NP=BP \cdot NG[/imath] và [imath]BN \cdot GP=2BP \cdot GN[/imath]
[imath]BNMP[/imath] là tứ giác điều hòa nên [imath]BN \cdot MP=BP \cdot MN[/imath] và [imath]BM \cdot NP=2BP \cdot MN[/imath]
Từ đó [imath]\dfrac{NP^2 \cdot MB \cdot GB}{BN^2 \cdot MP \cdot PG}=\dfrac{NP \cdot MB \cdot BP \cdot NG}{BP \cdot MN \cdot BN \cdot PG}[/imath]
[imath]=\dfrac{NP \cdot MB \cdot NG}{MN \cdot BN \cdot PG}[/imath]
[imath]=\dfrac{2BP \cdot MN \cdot NG}{2BP \cdot NG \cdot MN}=1[/imath]
Vậy ta có đpcm.

7 1 2 5adu doc nham de sadsad