Toán 9 Chứng minh: $ \frac{1}{AD} + \frac{1}{BE} + \frac{1}{CF} < \frac{2}{R' - OO'} $

[Love Means]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC (AB < AC) ngoại tiếp ( O,R) . Gọi D,E,F lần lượt là giao điểm của AO với BC , BO với AC , CO với AB. (O';R') là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. CMR:
$ \frac{1}{AD} + \frac{1}{BE} + \frac{1}{CF} < \frac{2}{R' - OO'} $
Help mee...

 

[Ann Lee]

Cho tam giác ABC (AB < AC) ngoại tiếp ( O,R) . Gọi D,E,F lần lượt là giao điểm của AO với BC , BO với AC , CO với AB. (O';R') là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. CMR:
$ \frac{1}{AD} + \frac{1}{BE} + \frac{1}{CF} < \frac{2}{R' - OO'} $
Help mee...

Vì O là tâm đường tròn nội tiếp [TEX]\Delta ABC[/TEX] nên [TEX]AO;BO;CO[/TEX] lần lượt là tia phân giác của các góc [tex]\widehat{BAC};\widehat{CBA};\widehat{ACB}[/tex]
Theo tính chất của đường phân giác và tính chất của tỉ lệ thức ta có:
[tex]\frac{OA}{OD}=\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BD}=\frac{AC+AB}{CD+BD}=\frac{AC+AB}{BC}\\\Rightarrow \frac{OA}{AD}=\frac{AC+CB}{BC+AB+AC}[/tex]
Tương tự: [tex]\frac{OB}{BE}=\frac{AB+BC}{AB+BC+CA};\frac{OC}{CF}=\frac{AC+BC}{AB+AC+CB}[/tex]
Suy ra [tex]\frac{OA}{AD}+\frac{OB}{BE}+\frac{OC}{CF}=2[/tex]
Xét [tex]\Delta AOO'[/tex] có: [tex]AO>AO-OO'[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{AO}{AD}>\frac{AO'-OO'}{AD}[/tex]
Tương tự:....
Suy ra [tex]\frac{OA}{AD}+\frac{OB}{BE}+\frac{OC}{CF}=2>\frac{AO'-OO'}{AD}+\frac{BO'-OO'}{BE}+\frac{CO'-OO'}{CF}=(R'-OO')\left ( \frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF} \right )\\\Leftrightarrow \frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}< \frac{2}{R'-OO'}[/tex]