Toán 9 Chứng minh đồng dạng và 3 điểm thẳng hàng

[AlexisBorjanov]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho ΔABC nhọn nội tiếp (O) có 3 đường cao AD, BE, CF giao nhau ở trực tâm H. Đường tròn (ω) có đường kính AD cắt AB tại Y, cắt AC tại X. XY cắt BC tại K, EF cắt BC tại L. AK cắt (O) tại Z khác A. Kẻ đường thẳng vuông góc AL tại A cắt BC tại S.
1. CMR AY.AB=AX.AC, BYXC là tứ giác nội tiếp (đã làm)
2. CMR AZD là góc vuông
3. AL cắt (O) tại P khác A. Gọi M là trung điểm BC, chứng minh P, H, M thẳng hàng; AS=SZ.
Em xin cảm ơn!

 

[7 1 2 5]

2. Ta sẽ đi chứng minh Z thuộc [TEX](\omega)[/TEX]
Thật vậy, giả sử [TEX]AK[/TEX] cắt [TEX](\omega)[/TEX] tại [TEX]Z'[/TEX]
Khi đó ta có: [TEX]KB.KC=KY.KX=KA.KZ'[/TEX] nên [TEX]Z'ABC[/TEX] nội tiếp hay [TEX]Z' \in (O)[/TEX]. Từ đó [TEX]Z' \equiv Z[/TEX] hay [TEX]Z \in (\omega)[/TEX]
3. Ta có: [TEX]LA.LP=LB.LC=LE.LF[/TEX] nên [TEX]APFE[/TEX] nội tiếp hay [TEX]A,E,F,P,H[/TEX] thuộc đường tròn đường kính AH.
Từ đó [TEX]\widehat{APH}=90^o[/TEX]
Giả sử A'A là đường kính của (O) thì ta chứng minh được [TEX]BH //CA',CH//BA' \Rightarrow BHCA'[/TEX] là hình bình hành hay [TEX]H,M,A'[/TEX] thẳng hàng.
Lại có [TEX]\widehat{APH}=\widehat{APA'}=90^o \Rightarrow P,H,A'[/TEX] thẳng hàng. Từ đó [TEX]P,H,M[/TEX] thẳng hàng.
Gọi I là trung điểm AD. Khi đó [TEX]OI[/TEX] là trung trực của AZ nên ta sẽ chứng minh [TEX]SI \perp AZ[/TEX]
Theo định lí Thales ta có: [tex]\frac{BK}{BL}=\frac{BY}{BF}=\frac{BD}{BC}=\frac{BK+BD}{BL+BC}=\frac{KD}{LC};\frac{LK}{LC}=\frac{EX}{EC}=\frac{BD}{BC}=\frac{KD}{LC}\Rightarrow LK=KD\Rightarrow KI//AL\Rightarrow KI \perp AS \Rightarrow I[/tex] là trực tâm tam giác AKS [TEX]\Rightarrow SI \perp AK[/TEX](đpcm)