Các bạn xem bài chứng minh định lý Fermat lớn sau nhé !
ĐỊNH LÍ FERMAT LỚN
Định lí Fermat lớn: Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả mãn phương trình Đi-ô-phăng x n + y n = z n trong đó n là số nguyên lớn hơn 2.
Chứng minh:
Gọi a, b, c là các nghiệm nguyên khác 0 thỏa mãn phương trình Đi-ô-phăng Fermat. Khi đó ta có: a n + b n = c n ↔ (a/c)^n+(b/c)^n =1 → [a/c)^n+(b/c)^n]^2= 1 ↔ (a/c)^n.(b/c)^n +[(1/2).((a/c)^n-(b/c)^n)]^2 =1/4
Đặt x = ab/c2 và y = (1/2).[a/c)^n-(b/c)^n] . Ta có: xn + y2 =1/4 (x,y ϵ Q ; x ≠ 0 vì a,b,c ≠ 0)
→ Điểm M(x;y) là điểm hữu tỉ khác 0 nằm trên đường cong xn + y2 = 1/4
Bây giờ ta chứng minh đường cong C(x,y) của phương trình xn + y2 = 1/4 chỉ có duy nhât hai điểm hữu tỉ là P(0; −1/2 ) và Q(0;1/2 ).
Thật vậy: xn + y2 = 1/4 ↔ 4(xn + y2)(x+1)^2 = 4.1/4.(x+1)^2
↔ 4x^n.(x+1)^2 + 4y^2.(x+1)^2 = x^2 + 2x +1
↔ 4x^n.(x^2 + 2x +1) - x^2 - 2x -1 + 4y^2.(x+1)^2 = 0 (Đặt m = 2y(x+1), m ϵ Q).Ta có:
↔ 4x^(n+2) + 8x^(n+1) + 4x^n − x^2 − 2x – 1 + m^2 = 0 (m ϵ Q)
Nếu m = 0 Ta có phương trình 4x^(n+2) + 8x^(n+1) + 4x^n − x^2 − 2x – 1 = 0
↔ (4x^n – 1)(x + 1)^2 = 0
→ x = − 1 hoặc x = (1/4)^(1/n) là số vô tỉ,
khi x = − 1 ta có y = + √(5/4) là số vô tỉ khi n lẻ và ko có y khi n chẵn
Nếu m = + 1 → m2 = 1 Ta có phương trình 4x^(n+2) + 8x^(n+1) + 4x^n − x^2 − 2x = 0 ↔ x(4x^(n+1) + 8x^n + 4x^(n-1) − x − 2) = 0 phương trình trên có nghiệm hữu tỉ ↔ x = 0 hoặc x = p/q với p ϵ Ư(2), q ϵ Ư(4) ↔ x = 0 , x = + 1 , x = + 2 , x = + 1/2, x = +1/4
Với x = 0 → y = + 1/2 Từ đó ta có hai điểm hữu tỉ P(0; −1/2 ) và Q(0;1/2 ) nằm trên đường cong C(x,y): xn + y2 =1/4
Với x = + 1 , x = + 2 , x = + 1/2 , x = + 1/4 ta thấy chúng đều không thỏa mãn phương trình. Chẳng hạn khi x =1/2 thì từ 4x^(n+2) + 8x^(n+1) + 4x^n − x^2 − 2x = 0 ta có: ↔ 4x^n.(x2+ 2x +1) − x^2 − 2x − 1+ 1 = 0 ↔ (4x^n – 1) (x+1)^2 +1 = 0 vì x = 1/2 là nghiệm nên [4.(1/2)^n – 1] (1/2+1)^2 +1 = 0 → (1/2)^n = 5/36 vô lí vì n ϵ N* . Các trường hợp khác cach làm tương tự các bạn tự kiểm tra nhé ! Nên phương trình trên không có nghiệm hữu tỉ khac 0.
Nếu m ϵ Q và m ≠ 0, m ≠ + 1 thì ta có phương trình
4x^(n+2) + 8x^(n+1) + 4x^n − x^2 − 2x – 1 + m^2 = 0
phương trình này không thể giải được bằng căn thức (vì nó có bậc từ 5 trở lên do n + 2 > 5 khi n > 3 và thỏa mãn các điều kiện không giải được của lí thuyết Évariste Galois). Nên nghiệm x = xo của phương trình không phải là nghiệm đại số. Từ đó nghiệm của phương trình không thể biểu diễn được qua các phép toán sơ cấp (cộng(+), trừ(-), nhân(x), chia(/),lũy thừa(^) và căn(√)) theo các hệ số hữu tỉ của nó. Do đó nghiệm x = xo là một số vô tỉ.
Vậy không tồn tại điểm hữu tỉ khác 0 nằm trên đường cong C(x,y): xn + y2 = 1/4 . Nên không tồn tại các nghiệm nguyên khác không a, b, c thỏa mãn phương trình Đi-ô-phăng Fermat.
Định lí Fermat lớn đã được chứng minh.□
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
