Toán 10 Chứng minh diện tích của tam giác là một số tự nhiên

[Phong Thần]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC có [tex]\frac{sinB+2018sinC}{2018cosB+cosC}=sinA[/tex] và độ dài các cạnh là các số tự nhiên. Gọi M là trung điểm cạnh BC và G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh tam giác MBG có diện tích là một số tự nhiên.

 

[7 1 2 5]

Đặt [TEX]BC=a,CA=b,AB=c[/TEX]
[tex]\frac{sinB+2018sinC}{2018cosB+cosC}=sinA \Leftrightarrow \frac{\frac{sinB}{sinA}+2018.\frac{sinC}{sinA}}{2018cosB+cosC}=1\Leftrightarrow \frac{b}{a}+2018.\frac{c}{a}=2018.\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\Leftrightarrow b^2+c^2=a^2\Leftrightarrow S_{ABC}=\frac{bc}{2} \Rightarrow S_{MBG}=\frac{bc}{12}[/tex]
Ta có [TEX]a,b,c \in \mathbb{N}[/TEX].
Vì số chính phương chia 8 dư 0,1,4 nên từ [TEX]b^2+c^2=a^2[/TEX] thì trong b,c có 1 số lẻ, [TEX]a^2 \equiv 1 mod8[/TEX].
Giả sử b lẻ thì [TEX]c^2 \equiv 0 mod 8 \Rightarrow c \vdots 4 \Rightarrow bc \vdots 4[/TEX].
Tương tự xét số dư của [TEX]a^2,b^2,c^2[/TEX] khi chia cho 3 ta được [TEX]bc \vdots 3 \Rightarrow bc \vdots 12 \Rightarrow S_{MBG} \in \mathbb{N}[/TEX]