d) Dễ thấy [imath]0<u_n \leq 2 \forall n[/imath]
Ta xét hàm [imath]f(x)=\dfrac{3+2x}{2+x}[/imath] thì có [imath]f'(x)>0[/imath] nên dãy [imath](u_n)[/imath] đơn điệu.
Kết hợp [imath](u_n)[/imath] bị chặn nên [imath](u_n)[/imath] có giới hạn hữu hạn. Đặt [imath]l=\lim u_n[/imath] thì ta tính được [imath]l=\sqrt{3}[/imath]
e) Xét [imath]f(x)=x-\sin x[/imath] trên [imath](0,\pi)[/imath] ta thấy [imath]f'(x) \geq 0[/imath] nên [imath]f(x) >f(0)=0[/imath]
Từ đó [imath]\sin x<x \forall x \in (0,\pi)[/imath]. Cho nên ta quy nạp được [imath]u_n>0[/imath].
Cũng từ công thức truy hồi ta suy ra [imath](u_n)[/imath] giảm, nên [imath](u_n)[/imath] hội tụ. Đặt [imath]l=\lim u_n[/imath], dựa vào [imath]f(x)[/imath] ta tính được [imath]l=0[/imath]
f) Ta thấy [imath]u_n>\sqrt{2} \forall n \geq 2[/imath].
Từ công thức truy hồi ta có [imath]u_{n+1}^2=\dfrac{n^2}{4n^2-4n+1} \cdot \dfrac{u_n^4+4u_n^2+4}{u_n^2}[/imath]
Đặt [imath]u_n^2=v_n[/imath] thì ta có [imath]v_{n+1}=\dfrac{n^2}{4n^2-4n+1} \cdot \dfrac{v_n^2+4v_n+4}{v_n}[/imath]
[imath]\Rightarrow v_{n+1}-2=\dfrac{n^2}{4n^2-4n+1} \left( \dfrac{v_n^2+4v_n+4}{v_n}-8 \right)+\dfrac{8n^2}{4n^2-4n+1}-2[/imath]
[imath]=\dfrac{n^2}{4n^2-4n+1} \cdot \dfrac{v_n-2}{v_n}(v_n-2)+\dfrac{8n-2}{4n^2-4n+1}[/imath]
[imath]\Rightarrow |v_{n+1}-2|=|\dfrac{n^2}{4n^2-4n+1} \cdot \dfrac{v_n-2}{v_n}(v_n-2)+\dfrac{8n-2}{4n^2-4n+1}|[/imath]
[imath]\leq |\dfrac{n^2}{4n^2-4n+1}| \cdot |\dfrac{v_n-2}{v_n}| \cdot |(v_n-2)| + |\dfrac{8n-2}{4n^2-4n+1}|[/imath]
Nhận thấy [imath]|\dfrac{n^2}{4n^2-4n+1}|<\dfrac{1}{2}, |\dfrac{v_n-2}{v_n}|<1[/imath] nên [imath]|v_{n+1}-2|<\dfrac{1}{2}|v_n-2|+|\dfrac{8n-2}{4n^2-4n+1}|[/imath]
Tới đây ta sử dụng bổ đề sau:
(với [imath]q<1[/imath])
Từ đó [imath]\lim |v_n-2|=0 \Rightarrow \lim v_n=2 \Rightarrow \lim u_n=\sqrt{2}[/imath]
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
