2. Ý a) em có thể tự làm bằng cách quy nạp và khảo sát hàm bậc [imath]2[/imath], nếu cần thì anh sẽ trình bày ở comt sau.
b) Đặt [imath]f(x)=1+x-\dfrac{x^2}{2}[/imath] thì ta có [imath]f'(x)=1-x<0[/imath] nên [imath]f[/imath] nghịch biến.
Từ đó [imath]f(f(x))[/imath] là hàm đồng biến.
Suy ra [imath](x_{2n})[/imath] và [imath](x_{2n+1})[/imath] là các dãy đơn điệu. Mà [imath]2[/imath] dãy đó đều bị chặn nên các dãy đó có giới hạn hữu hạn.
Đặt [imath]a=\lim x_{2n}, b=\lim x_{2n-1} (a,b \in [1,\dfrac{3}{2}][/imath]
Ở công thức truy hồi, cho [imath]n \to +\infty[/imath] và lấy giới hạn [imath]2[/imath] vế ta có [imath]\begin{cases} a=1+b-\dfrac{b^2}{2} \\ b=1+a-\dfrac{a^2}{2} \end{cases}[/imath]
Giải hệ trên ta được [imath]a=b=\sqrt{2}[/imath]. Vậy [imath]\lim x_n=\lim x_{2n}=\lim x_{2n-1}=\sqrt{2}[/imath]
3. a) Từ giả thiết ta có [imath]u_{n+1}-1=u_n(u_n-1) \Rightarrow \dfrac{1}{u_{n+1}-1}=\dfrac{1}{u_n(u_n-1)}=\dfrac{1}{u_{n-1}}-\dfrac{1}{u_n}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{1}{u_n}=\dfrac{1}{u_n-1}-\dfrac{1}{u_{n+1}-1}[/imath]
Từ đó ta suy ra [imath]S_n=\dfrac{1}{u_1-1}-\dfrac{1}{u_{n+1}-1}=1-\dfrac{1}{u_{n+1}-1}[/imath]
b) Ta thấy [imath]u_n>0[/imath] và [imath]u_{n+1}=u_n^2+1-u_n \geq 2u_n-u_n=u_n[/imath] nên [imath](u_n)[/imath] tăng.
Giả sử [imath](u_n)[/imath] bị chặn thì [imath](u_n)[/imath] có giới hạn hữu hạn. Đặt [imath]\lim u_n=l (l \geq 2)[/imath] thì thay vào công thức truy hồi ta có [imath]l=l^2-l+1 \Rightarrow l=1[/imath](không thỏa mãn)
Vậy [imath]\lim u_n=+\infty[/imath], suy ra [imath]\lim S_n=1[/imath]
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
