Toán 10 Chứng minh đẳng thức

[Jennifer Lu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho điểm D nằm trong tam giác ABC sao cho $\widehat {DAB} = \widehat {DBC} =\widehat {DCA} =\varphi$
CMR: $\cot \varphi= \cot A + \cot B + \cot C$

 

[Alice_www]

Cho điểm D nằm trong tam giác ABC sao cho $\widehat {DAB} = \widehat {DBC} =\widehat {DCA} =\varphi$
CMR: $\cot \varphi= \cot A + \cot B + \cot C$

Jennifer Lu
$\cot A=\dfrac{\cos A}{\sin A}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.\dfrac{2R}a=\dfrac{(b^2+c^2-a^2)R}{abc}$

Tương tự ta có: $\cot B=\dfrac{(a^2+c^2-b^2)R}{abc}; \cot C=\dfrac{(a^2+b^2-c^2)R}{abc}$

Suy ra $\cot A+\cot B+\cot C=\dfrac{(a^2+b^2+c^2)R}{abc}$

Áp dụng định lí cos cho $\Delta ABD, \Delta CBD, \Delta ADC$ ta có

$BD^2=AB^2+AD^2-2AB.AD.cos \varphi=AB^2+AD^2-2AB.AD.\sin \varphi. \cot \varphi$
$=AB^2+AD^2-4S_{DAB}\cot \varphi\Rightarrow 4S_{DAB}\cot \varphi= AB^2+AD^2-BD^2$

Tương tự ta có: $4S_{DBC}\cot \varphi=BC^2+DB^2-CD^2; 4S_{ADC}\cot \varphi=AC^2+CD^2-AD^2$

Cộng vế với vế ta được $4S\cot \varphi= a^2+b^2+c^2$

$\Rightarrow abcR.\cot varphi=a^2+b^2+c^2\Rightarrow \cot \varphi=\dfrac{(a^2+b^2+c^2)R}{abc}$

Suy ra $\cot \varphi=\cot A+\cot B+\cot C$

Có gì khúc mắc em hỏi lại nha
Ngoài ra, em xem thêm tại Tổng hợp sách giáo khoa mới toán 10