Cho điểm D nằm trong tam giác ABC sao cho [imath]\widehat {DAB} = \widehat {DBC} =\widehat {DCA} =\varphi[/imath]
CMR: [imath]\cot \varphi= \cot A + \cot B + \cot C[/imath]
Jennifer Lu
[imath]\cot A=\dfrac{\cos A}{\sin A}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.\dfrac{2R}a=\dfrac{(b^2+c^2-a^2)R}{abc}[/imath]
Tương tự ta có: [imath]\cot B=\dfrac{(a^2+c^2-b^2)R}{abc}; \cot C=\dfrac{(a^2+b^2-c^2)R}{abc}[/imath]
Suy ra [imath]\cot A+\cot B+\cot C=\dfrac{(a^2+b^2+c^2)R}{abc}[/imath]
Áp dụng định lí cos cho [imath]\Delta ABD, \Delta CBD, \Delta ADC[/imath] ta có
[imath]BD^2=AB^2+AD^2-2AB.AD.cos \varphi=AB^2+AD^2-2AB.AD.\sin \varphi. \cot \varphi[/imath]
[imath]=AB^2+AD^2-4S_{DAB}\cot \varphi\Rightarrow 4S_{DAB}\cot \varphi= AB^2+AD^2-BD^2[/imath]
Tương tự ta có: [imath]4S_{DBC}\cot \varphi=BC^2+DB^2-CD^2; 4S_{ADC}\cot \varphi=AC^2+CD^2-AD^2[/imath]
Cộng vế với vế ta được [imath]4S\cot \varphi= a^2+b^2+c^2[/imath]
[imath]\Rightarrow abcR.\cot varphi=a^2+b^2+c^2\Rightarrow \cot \varphi=\dfrac{(a^2+b^2+c^2)R}{abc}[/imath]
Suy ra [imath]\cot \varphi=\cot A+\cot B+\cot C[/imath]
Có gì khúc mắc em hỏi lại nha
Ngoài ra, em xem thêm tại
Tổng hợp sách giáo khoa mới toán 10
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
