chứng minh đẳng thức

[phannhungockhanh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài I: TÍNH

B=[TEX]\frac{1}{2+\sqrt{2}}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}[/TEX]+...+[TEX]\frac{1}{2005\sqrt{2004}+2004\sqrt{2005}}[/TEX]

C=[TEX]\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}[/TEX]+[TEX]\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}[/TEX]+...+[TEX]\sqrt{1+\frac{1}{2002^2}+\frac{1}{2003^2}}[/TEX]

BÀI 2: cho x,y,z>0 thỏa mãn xy+yz+zx=1
TÍNH A= x[TEX]\sqrt{\frac{(1+y^2)(1+z^2)}{1+x^2}}[/TEX]+y[TEX]\sqrt{\frac{(1+z^2)(1+x^2)}{1+y^2}}[/TEX]+z[TEX]\sqrt{\frac{(1+x^2)(1+y^2)}{1+z^2}}[/TEX]

BÀI 3: cho [TEX]a^2+b^2+c^2[/TEX]=ab+bc+ca
chứng minh rằng: a=b=c

BÀI 4: cho x,y,z là 3 số dương t/m: x+y+z=3. CMR:

[TEX]\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}[/TEX]+[TEX]\frac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}[/TEX]+[TEX]\frac{z}{z+\sqrt{3z+yx}}[/TEX]\leq1

thank you very much

 

[nguyenphuongthao28598]

jln

BÀI 3 NHA!

CÓ (a-b)^2\geq0
\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab \geq0
\Leftrightarrowa^2+b^2\geq2ab
CHỨNH MINH TƯƠNG TỰ
b^2+c^2\geq 2bc
a^2+c^2\geq2ac

\Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ac+bc+ab)

\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geq ac+ab+bc

DẤU = XẢY RA KHI VÀ CHỈ KHI a=b=c

\Rightarrow ĐIỀU PHẢI CM NHA BẠN

 

[vuhoang97]

b1

bạn xét dạng tổng quát trước nha:
a,xét A=1/( (n+1)căn(n) + n.căn(n+1) )

...mình ko biết viết...nên hơi khó hiểu cho bạn,xin lỗi
A=1/(căn(n.(n+1)).(căn n + căn n+1))
trục căn thức = cách nhân cả tử và mấu vs căn n+1 - căn n
sau đó chia tử cho mẫu
bạn sẽ có:A=1/(căn n)-1/(căn n+1)
thay vào bt trên rút gon dần là ra
hơi khó hiểu nhỉ
b,xét dạng tổng quát thôi
quy đồng
lần này thì quá khó hiểu=>thậm chí ko hiểu
copy mấy kí tự toán học(dấu căn...)mà ko hiện ra j hết

 

[red_trainer]

Câu 1 nhé:
[TEX]\forall[/TEX]n nguyên dương ta có:
[TEX]\frac{1}{n(\sqrt{n+1}) + (n+1)\sqrt{n})} = \frac{1}{(\sqrt{n(n+1)})(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{(\sqrt{n(n+1)})(n+1-n)} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n}.\sqrt{n+1}} = \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A = \frac{1}{1} - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3} } +...... + \frac{1}{\sqrt{2004}} - \frac{1}{\sqrt{2005}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2005}}[/TEX]

 

[phannhungockhanh]

bạn xét dạng tổng quát trước nha:
a,xét A=1/( (n+1)căn(n) + n.căn(n+1) )

...mình ko biết viết...nên hơi khó hiểu cho bạn,xin lỗi
A=1/(căn(n.(n+1)).(căn n + căn n+1))
trục căn thức = cách nhân cả tử và mấu vs căn n+1 - căn n
sau đó chia tử cho mẫu
bạn sẽ có:A=1/(căn n)-1/(căn n+1)
thay vào bt trên rút gon dần là ra
hơi khó hiểu nhỉ
b,xét dạng tổng quát thôi
quy đồng
lần này thì quá khó hiểu=>thậm chí ko hiểu
copy mấy kí tự toán học(dấu căn...)mà ko hiện ra j hết

câu C quy đồng nhưng chưa ra. ai cho kết quả & cách làm rõ hơn đc ko?

 

[thaiha_98]

$C = \sqrt[]{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+ \sqrt[]{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+...+ \sqrt[]{1+\frac{1}{2001^2}+\frac{1}{2002^2}}+ \sqrt[]{1+\frac{1}{2002^2}+\frac{1}{2003^2}}$
Xét k $\in$ N, k\geq2. Ta có:
$(1+ \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k})^2$
$ = 1+ \frac{1}{(k-1)^2} + \frac{1}{k^2} + \frac{2}{k-1}- \frac{2}{(k-1)k}-\frac{2}{k}$
$ = 1+ \frac{1}{(k-1)^2} + \frac{1}{k^2} + \frac{2}{k-1}- \frac{2}{k-1}+\frac{2}{k}-\frac{2}{k}$
\Rightarrow $1+ \frac{1}{(k-1)^2} + \frac{1}{k^2} = (1+ \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k})^2$
\Rightarrow $\sqrt[]{1+ \frac{1}{(k-1)^2} + \frac{1}{k^2}}= 1+ \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$
Với $k=3,4,...,2002,2003$. Ta có:
$C=(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+...+(1+\frac{1}{2001}-\frac{1}{2002})+(1+\frac{1}{2002}-\frac{1}{2003})$
$C= 2001 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2003}= \frac{8018007}{4006}$
Vậy....

 

[quynhnhung81]

Bài 2:

[TEX]A= x. \sqrt{\frac{(1+y^2)(1+z^2)}{1+x^2}} + y. \sqrt{\frac{(1+z^2)(1+x^2)}{1+y^2}} + z. \sqrt{\frac{(1+y^2)(1+x^2)}{1+y^2}} [/TEX]
Xét [TEX]x. \sqrt{\frac{(1+y^2)(1+z^2)}{1+x^2}}[/TEX]

[TEX]= x. \sqrt{\frac{(xy+yz+zx+y^2)(xy+yz+zx+z^2)}{xy+yz+zx+x^2}}[/TEX]

[TEX]= x. \sqrt{\frac{(x+y)(z+y)(x+z)(y+z)}{(y+x)(z+x)}}[/TEX]

[TEX]= x \sqrt{ (y+z)^2} = x(y+z) = xy+xz [/TEX]

Làm tương tự \Rightarrow A= 2(xy+yz+zx) = 2

 

[hoa_giot_tuyet]

Chưa thấy ai ngu như mik, có bài từng mà ngồi hoài k ra
Bài cuối nè
Thay x+y+z = 3 được
3x+yz = (x+y)(x+z)
Dễ c/m đc bđt [TEX]\sqrt{(a+b)(c+d)} \geq \sqrt{ac} + \sqrt{bd}[/TEX] (theo bđt buni)

Suy ra [TEX]\sqrt{(x+y)(x+z)} \geq \sqrt{xy}+\sqrt{xz}[/TEX]

Kết hợp được mẫu [TEX]x + \sqrt{(x+y)(x+z)} \geq x + \sqrt{xy}+\sqrt{xz} = \sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{x}{x + \sqrt{(x+y)(x+z)}} \leq \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}[/TEX]

Tương tự với 2 số kia, cộng vế theo vế ta có đpcm