Toán 9 Chứng minh $DA.FB.EC=EA.DB.FC$

[Nguyễn Minh Sơn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC ngoại tiếp dưong tròn tâm I. Gọi M, N, P lần lượt là các tiếp điểm của dường tròn (I) trên các cạnh AB, AC, BC và MD, NE, PF là các đường cao của tam giác MNP. 1) Chứng minh FP là tia phân giác BFC 2) Chứng minh rằng DA.FB.EC-EA.DB.FC

 

[Blue Plus]

1.
Nối $BI, CI$
Ta có $\widehat{PIC}=\widehat{PNC}=\widehat{PMF}$
$\Rightarrow \triangle PIC \sim \triangle FMP \Rightarrow \dfrac{PI}{FM}=\dfrac{PC}{FP}\Rightarrow PI.FP=FM.PC=FM.NC$
Chứng minh tương tự ta cũng có $PI.FP=FN.MB$
Suy ra $FM.NC=FN.MB\Rightarrow \dfrac{FM}{FN}=\dfrac{MB}{NC}\Rightarrow \triangle FMB \sim \triangle FNC\Rightarrow \widehat{MFB}=\widehat{NFC}$
Suy ra $\widehat{BFP}=\widehat{CFP}\Rightarrow FP$ là phân giác $\widehat{BFC}$.
Suy ra $\dfrac{FB}{FC}=\dfrac{BP}{CP}$.
2.
Chứng minh tương tự ta có $DM$ là phân giác $\widehat{ADB}$; $EN$ là phân giác $\widehat{CEA}$.
Suy ra $\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{AM}{BM};\dfrac{EC}{EA}=\dfrac{CN}{AN}$.
$\dfrac{FB.DA.EC}{FC.DB.EA}=\dfrac{BP.AM.CN}{CP.BM.AN}=1\Rightarrow dpcm$.