Toán 10 Chứng minh D là trung điểm HL

[David Wind]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC nội tiếp (O), trực tâm H. E nằm trên tia đối của tia AC, Đường thẳng qa A song song EO cắt (O) tại điểm thứ hai là K. KL song song với BC (L thuộc (O)). Đường tròn đường kính BE cắt HL tại D. Chứng minh D là trung điểm HL

 

[7 1 2 5]

Gọi $J$ là giao điểm của $(BE)$ với đường tròn Euler của $\Delta ABC$ sao cho $BJ$ không vuông góc với $AC$.
Gọi Y là chân đường cao vẽ từ $B$ tới $AC$, $O'$ đối xứng với $O$ qua $AC$, $O_9,U$ là tâm đường tròn Euler và tâm của $(BE)$
Theo định lý Thales ta dễ thấy $O_9$ là trung điểm $BO'$.
Ta có $\widehat{CEO}=\widehat{O'EY}=(UO_9,AC)$
Mà $UO_9 \perp JY$ nên $\widehat{CEO}=90^o-\widehat{JYC}=\widehat{BYJ}=\widehat{BEJ}$
Gọi $I$ là giao điểm khác $B$ của $(BE)$ với $(O)$.
Xét phép nghịch đảo tâm $H$ phương tích $\overline{HA}\cdot \overline{HD}$
$(BE) \leftrightarrow (BE), (O_9) \leftrightarrow (O)$
Từ đó $J \leftrightarrow I$ nên $I,H,J$ thẳng hàng.
Ta có: $\widehat{BEJ}=\widehat{BIJ}, \widehat{OEC}=\widehat{KAC}=\widehat{KIC}=\widehat{BIL}$
$\Rightarrow \widehat{BIJ}=\widehat{BIL} \Rightarrow I,L,J$ thẳng hàng.
$\Rightarrow I,H,L,J$ thẳng hàng.
Xét phép vị tự tâm $H$ tỉ số $k=2$.
$(O_9) \rightarrow (O)$
Vì $H,J,L$ thẳng hàng và $J \in (O_9), L \in (O)$ nên $J$ là trung điểm $HL$.
Mặt khác, $J \in (BE)$ và $J \in HL$ nên $J \equiv D$. Từ đó ta có đpcm.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha

 

[2712-0-3]

Gọi $J$ là giao điểm của $(BE)$ với đường tròn Euler của $\Delta ABC$ sao cho $BJ$ không vuông góc với $AC$.
Gọi Y là chân đường cao vẽ từ $B$ tới $AC$, $O'$ đối xứng với $O$ qua $AC$, $O_9,U$ là tâm đường tròn Euler và tâm của $(BE)$
Theo định lý Thales ta dễ thấy $O_9$ là trung điểm $BO'$.
Ta có $\widehat{CEO}=\widehat{O'EY}=(UO_9,AC)$
Mà $UO_9 \perp JY$ nên $\widehat{CEO}=90^o-\widehat{JYC}=\widehat{BYJ}=\widehat{BEJ}$
Gọi $I$ là giao điểm khác $B$ của $(BE)$ với $(O)$.
Xét phép nghịch đảo tâm $H$ phương tích $\overline{HA}\cdot \overline{HD}$
$(BE) \leftrightarrow (BE), (O_9) \leftrightarrow (O)$
Từ đó $J \leftrightarrow I$ nên $I,H,J$ thẳng hàng.
Ta có: $\widehat{BEJ}=\widehat{BIJ}, \widehat{OEC}=\widehat{KAC}=\widehat{KIC}=\widehat{BIL}$
$\Rightarrow \widehat{BIJ}=\widehat{BIL} \Rightarrow I,L,J$ thẳng hàng.
$\Rightarrow I,H,L,J$ thẳng hàng.
Xét phép vị tự tâm $H$ tỉ số $k=2$.
$(O_9) \rightarrow (O)$
Vì $H,J,L$ thẳng hàng và $J \in (O_9), L \in (O)$ nên $J$ là trung điểm $HL$.
Mặt khác, $J \in (BE)$ và $J \in HL$ nên $J \equiv D$. Từ đó ta có đpcm.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha

Mộc Nhãnsadboiz lớp 10 chưa kịp học biến hình