chứng minh có nghiệm thực?

D

duynhan1

Bài ni nhìn vào ảo quá, hehe.
Đặt $t=\sqrt{x+1} \ge 0 $, ta có: $$t^{2011} = (t^3+1)^2 $$Đặt $u = \sqrt{t}$ thì ta có: $$u^{2011} =u^6 + 1 \quad (1) $$ Yêu cầu bài toán trở thành chứng minh phương trình (1) có duy nhất 1 nghiệm dương (do u=0 không là nghiệm của phương trình).

< Câu trên không có nghĩa là phương trình chỉ có 1 nghiệm, mà là có nhiều nghiệm cũng được nhưng chỉ có 1 nghiệm không âm>

Giả sử $u_o$ là 1 nghiệm dương của phương trình (1), khi đó ta có: $u_o^{2011} = u_o^6 + 1 \ge 2u_o^3 \Rightarrow u_o>1$
Do đó ta chỉ quan tâm đến các nghiệm lớn hơn 1 của phương trình (1).
Phương trình (1) được viết lại thành: $$u^{2011} -u^6 - 1 = 0 $$
Xét hàm số: $f(u) = u^{2011} -u^6 - 1 \quad \forall u>1$
Dễ chứng minh hàm số $f(u)$ đồng biến trên $(1;+ \infty)$, do đó phương trình (1) chỉ có 1 nghiệm dương duy nhất (điều phải chứng minh).
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom