Toán 9 chứng minh chia hết

[Longkhanh05@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

mn giúp mình bài này vs: cho x y z thuộc Z thỏa [tex](x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=xyz[/tex] . Chứng minh: [tex]x^3+y^3+z^3[/tex] chia hết cho [tex]x+y+z+6[/tex]

 

[7 1 2 5]

Dễ thấy: Trong 3 số x,y,z tồn tại ít nhất 1 số chẵn. Thật vậy, giả sử x,y,z lẻ. Khi đó VT sẽ là chẵn, còn VP lẻ nên vô lí. Từ đó suy ra [tex]xyz\vdots 2[/tex]
Đặt [tex]x+y+z=p,xy+yz+zx=q,xyz=r[/tex]. Từ giả thiết ta có [tex]2(p^2-3q)=r\Rightarrow p^2-3q=\frac{r}{2}[/tex]
Lại có: [tex]a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r=p(p^2-3q)+3r=\frac{pr}{2}+3r=\frac{r}{2}(p+6)\vdots p+6[/tex]
Mà [tex]p+6=a+b+c+6\Rightarrow đpcm[/tex]