Chứng minh chia hết

[tobe_shindaemon]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 4 số nguyên phân biệt a,b,c,d. Chứng minh rằng (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-a) chia hết cho 12

 

[kakashi_hatake]

Có 4 số phân biệt
Có 3 khả năng dư khi chia 1 số cho 3 (0,1,2)
Thro nguyên lý Diriclet có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 3
Nên tích các hiệu của 4 số luôn chia hết cho 3
4 số có khả năng là 4 chẵn, 3 chẵn 1 lẻ, 2 chẵn 2 lẻ, 1 chẵn 3 lẻ, 4 lẻ
Nếu 4 số cùng chẵn vùng lẻ thì hiệu các số luôn chia hết cho 2 => tích 6 hiệu luôn chia hết cho 4
Nếu 4 số 2 chẵn 2 lẻ thì hiệu 2 số chẵn 2 số lẻ chia hết cho 2 => tích 6 hiệu luôn chia hết cho 4
Nếu 3 số cùng chẵn/lẻ thì 2 hiệu tạo bởi 3 số đó luôn chẵn =. tích 6 hiệu luôn chia hết cho 4
Vậy tích 6 hiệu luôn chia hết cho 3, 4
Mà (3,4)=1 nên tích 6 hiệu đó luôn chia hết cho 3.4=12

 

[dragonsquaddd]

A = (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-a).
Một số nguyên khi chia cho 3 chỉ có số dư 0, 1, 2 nên theo nguyên lí Dirichle trong a, b, c, d có ít nhất hai số đồng dư khi chia cho 3, tức là tồn tại ít nhất một thừa số của tích A chia hết cho 3, hay A ⋮3
Một số nguyên khi chia cho 2 chỉ có thể có số dư 0, 1 nên theo nguyên lí Dirichle trong a,b, c, d có ít nhất hai số đồng dư khi chia cho 2.
TH1: có 2 số đồng dư khi chia cho 2 thì hai số còn lại cũng đồng dư khi chia cho 2, tức là tồn tại hai thừa số của A chia hết cho 2 hay A ⋮4
TH2: có 3 số đồng dư khi chia cho 2 thì tồn tại ba thừa số của A chia hết cho 2 hay A ⋮8→A ⋮4
Vậy A ⋮4,A ⋮3→A ⋮(4;3)→A ⋮12