Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Một đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại C. Vẽ AM vuông góc với d tại M, BN vuông góc với d tại N, CD vuông góc với AB tại d. Chứng minh CD^2 = AM.BN
______________________________________________________________________________________
Dễ dàng chứng minh được: $CDAM;CDBN$ nội tiếp
Ta có: [tex]AM\parallel BN(\perp (d))[/tex]
Mà $O$ là trung điểm của $AB$ suy ra: [tex]C[/tex] là trung điểm của $MN$
Có: [tex]\widehat{MDA}=\widehat{MCA};\widehat{NDB}=\widehat{NCD}\Rightarrow \widehat{MDA}+\widehat{NDB}=90^{\circ}\Rightarrow \widehat{MDN}=90^{\circ}[/tex]
[tex]\Delta MDN[/tex] vuông có $DC$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên: $CD=CM=CN$
[tex]\Delta CAM=\Delta CAD(ch-cgv)\Rightarrow \widehat{MCA}=\widehat{DCA}[/tex]
CMTT: [tex]\widehat{CBD}=\widehat{CBN}[/tex]
Ta có: [tex]\widehat{MCA}=\widehat{DCA}=\widehat{CBD}=\widehat{CBN}[/tex]
Xét: [tex]\Delta CMA;\Delta DNC:[/tex]
[tex]\widehat{CMA}=\widehat{DNC}(=90^{\circ});[/tex] [tex]\widehat{MCA}=\widehat{CBN}(cmt)[/tex]
[tex]\Rightarrow \Delta CMA\sim \Delta DNC(g.g)\Rightarrow \frac{CM}{MA}=\frac{DN}{NC}\Rightarrow CM.CN=AM.DN\Leftrightarrow CD^2=AM.DN[/tex] (Vì $CD=CM=CN$)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
