chứng minh các BPT

[huynh_trung]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

bài 1 giả sử n là số tự nhiên.Hãy chứng minh:

[TEX]\frac{1}{2} + \frac{1}{3\sqrt[]{2}} + ......... + \frac{1}{(n+1)\sqrt[]{n}} < 2[/TEX]

bài 2 với mọi a,b,c,d là số thực, chứng minh:

[TEX](ab + cd)^2 \leq (a^2 + c^2)( b^2 + d^2)[/TEX]

bài 3 với a>0, b>0, c>0.Hãy chứng minh:

a)[TEX]\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} \geq 2b[/TEX]

b)[TEX]\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} \geq a+b+c[/TEX]

c)[TEX]\frac{a^3 + b^3}{2ab} + \frac{b^3 + c^3}{2bc} + \frac{c^3+a^3}{2ca} \geq a+b+c[/TEX]

Bài 4 với a>c , b>/= c , c>0.Chứng minh

[TEX]\sqrt[]{c(a-c)} + \sqrt[]{c(b-c)} = \sqrt[]{ab}[/TEX]

 

[huynh_trung]

thử làm đi nào mọi người ................................

 

[zucchini]

Câu 3a)
Ta có:
[tex](a-c)^2[/tex] \geq 0 nên [tex]a^2 + c^2 -2ac[/tex] \geq 0
hay [tex]a^2 + c^2[/tex] \geq 2ac (1)

Theo đề bài, ta có:
[tex]\frac{a^2b + bc^2}{\frac a.c}[/tex]
[tex]a^2b + bc^[/tex] \geq 2abc
[tex]b(a^2 + c^2)[/tex] \geq 2ac.b
[tex]a^2 + c^2[/tex] \geq 2ac (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

 

[minhvu_94]

bài 1 giả sử n là số tự nhiên.Hãy chứng minh:

[TEX]\frac{1}{2} + \frac{1}{3\sqrt[]{2}} + ......... + \frac{1}{(n+1)\sqrt[]{n}} < 2[/TEX]

bài 2 với mọi a,b,c,d là số thực, chứng minh:

[TEX](ab + cd)^2 \leq (a^2 + c^2)( b^2 + d^2)[/TEX]

bài 3 với a>0, b>0, c>0.Hãy chứng minh:

a)[TEX]\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} \geq 2b[/TEX]

b)[TEX]\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} \geq (a+b+c)[/TEX]
c)[TEX]\frac{a^3 + b^3}{2ab} + \frac{b^3 + c^3}{2bc} + \frac{c^3+a^3}{2ca} \geq a+b+c[/TEX]

Bài 4 với a>c , b>/= c , c>0.Chứng minh

[TEX]\sqrt[]{c(a-c)} + \sqrt[]{c(b-c)} = \sqrt[]{ab}[/TEX]

Bài 3 nè:
a) Áp dụng BĐT cô si cho 2 số ko âm có:
[TEX]\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a}\geq2\sqrt[2]{\frac{abbc}{ac}}=2b[/TEX]


=>[TEX]\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} \geq 2b[/TEX]

b) Áp dụng BĐT cô si cho 2 số ko âm ta có:

[TEX]\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a}\geq 2\sqrt[2]{\frac{abbc}{ac}}=2b \frac{ac}{b} + \frac{bc}{a}\geq 2\sqrt[2]{\frac{acbc}{ab}}=2c \frac{ab}{c} + \frac{ac}{b}\geq 2\sqrt[2]{\frac{abac}{bc}}=2a [/TEX]
cộng các BĐT ta đc:

[TEX]\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} \geq a+b+c[/TEX]

 

[linhlove313]

bài 2 là bunhia mà,trừ đi là ra ngay
bài 3 a) a/c +c/a >=2 do cosii nê n (a/c +c/a)b >=2b => dpcm
bài 3 b) áp dụng bất đẳng thức trê bư sép:a1>=a2>=a3
b1>=b2>=b3 thì a1.b1+a2b2+a3b3 max và a1.b3+a2.b2+a3.b1 min(cái này muốn cm chỉ cần trừ đi là ra)
như vậy ta giả sử a>=b>=c thì 1/c >=1/b>=1/a và ab>=ac>=bc
khi đó ab/c + ac/b + bc/a max tức là ab/c + bc/a+ ca/b >= ab/b + bc/c + ac/a = a +b +c(dpcm)
nếu không các bạn cứ nhóm vào và để ý a-b=(a-c) + (c-b) rồi tiếp tục nhóm vào là ra thôi
3c) phân tích a^3+b^3=(a+b)(a^2 - ab + b^2)>=(a+b)ab(do a^2+b^2>=2ab)
=>( a^3 + b^3)/2ab>=(a+b)/2
tương tự các thành phần sau >= (b+c)/2 và (c+a)/2
cộng 3 cái vào là ra thôi
bài 4) đọc đề ko hiểu nhưng chỉ cần bình phương 2 lần là ra thôi dù hơi to
bài 1)xét 1/(k+1).cănbh(k) = cănb2(k)/(k+1)k=cănb2(k).(1/k - 1/k+1) < 1/cănb2(k) - 1/cănb2(k+1)
sau đó thay lần lượt giá trị của k từ 1 đến n vào là ra
vì mình chưa quen cách viết trong diễn đàn mong các bạn thông cảm

 

[brandnewworld]

bài 3 b) áp dụng bất đẳng thức trê bư sép:a1>=a2>=a3

Bất đẳng thức Trê-bư-sép là bất đẳng thức nào vậy, đưa ra dạng tổng quát xem nào, mà đó là tên nhà Toán học nào vậy?

 

[cuncon2395]

Bài 3 nè:

b) Áp dụng BĐT cô si cho 2 số ko âm ta có:

[TEX]\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a}\geq 2\sqrt[2]{\frac{abbc}{ac}}=2b \frac{ac}{b} + \frac{bc}{a}\geq 2\sqrt[2]{\frac{acbc}{ab}}=2c \frac{ab}{c} + \frac{ac}{b}\geq 2\sqrt[2]{\frac{abac}{bc}}=2a [/TEX]
cộng các BĐT ta đc:

[TEX]\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} \geq a+b+c[/TEX]

phần câu b này hok rõ cho lắm
mình làm lại nhaz
Áp dụng bđt cô si ta có
+, [TEX]\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq 2.\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ac}{b}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq 2c (1)[/TEX]
+, [TEX]\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\geq 2.\sqrt{\frac{bc}{c}.\frac{ab}{c}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\geq 2b (2)[/TEX]
tương tự ta cũng c/minh đc [TEX]\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\geq 2a (3)[/TEX]
cộng từng vế của 3 bđt (1)(2)(3)
ta đc [TEX]\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\geq 2c+2b+2a[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]2(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c})\geq 2(a+b+c)[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\geq a+b+c[/TEX] (đpcm)

 

[cuncon2395]

bài 2
[TEX](a^2+c^2)(b^2+d^2)\geq(ab+cd)^2[/TEX]
= [TEX](a^2+c^2)(b^2+d^2)- (ab+cd)^2[/TEX]
=[TEX] a^2b^2+a^2d^2+b^2c^2+c^2d^2-a^2b^2-2abcd-c^2d^2[/TEX]
= [TEX]a^2d^2+b^2c^2-2abcd[/TEX]
= [TEX](ad-bc)^2 [/TEX]
Vì [TEX](ad-bc)^2 \geq0 \forall x[/TEX]
=> [TEX](a^2+c^2)(b^2+d^2)- (ab+cd)^2\geq 0 [/TEX]
vậy [TEX](a^2+c^2)(b^2+d^2)\geq(ab+cd)^2[/TEX]

 

[phuca5gv]

Bài 4 nè
[TEX] \sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{ab} \Leftrightarrow [\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}]^2 \leq[/TEX] ab
[TEX] \Leftrightarrow c(a-c) + 2c\sqrt{(a-c)(b-c)} + c(b-c) \leq[/TEX] ab
[TEX] \Leftrightarrow[/TEX] ac - [TEX] c^2 + 2c\sqrt{(a-c)(b-c)} + bc - c^2 \leq ab \Leftrightarrow c^2 - 2c\sqrt{(a-c)(b-c)} + (a-c)(b-c) \geq 0[/TEX] (luôn đúng)

 

[ljnhxjnh95]

bài 2 là bất đẳng thức bunhiacôpski mà bạn?
bài 3a dùng bất đẳng thức côsi còn câu b dựa tương tự câu a mà làm thui

 

[phuca5gv]

Hãy chứng minh bất đẳng thức sau đây:
Chứng minh rằng với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì ta có bất đẳng thức:
[TEX] (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 6(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})[/TEX]
Đẳng thức xảy ra khi nào?

 

[minhvu_94]

BĐT TrêBưSép

Bất đẳng thức Trê-bư-sép là bất đẳng thức nào vậy, đưa ra dạng tổng quát xem nào, mà đó là tên nhà Toán học nào vậy?

Dạng tổng quát:

Cho một số nguyên dương [TEX]n\geq2[/TEX] và hai dãy số thực [TEX]a_1;a_2;a_3;...;a_n[/TEX] và [TEX]b_1 ; b_2 ; b_3 ;...; b_n[/TEX] thỏa mãn điều kiện [TEX]a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq...\geq a_n[/TEX] và [TEX]b_1 \geq b_2 \geq b_3 \geq...\geq b_n[/TEX]. Khi đó ta có:

[TEX] a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n \geq \frac{1}{n} (a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+...+b_n)[/TEX]

Hay: [TEX]n (a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n) \geq (a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+...+b_n)[/TEX]

 

[cuncon2395]

cái này hơi hơi

Hãy chứng minh bất đẳng thức sau đây:
Chứng minh rằng với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì ta có bất đẳng thức:
[TEX] (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 6(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})[/TEX]
Đẳng thức xảy ra khi nào?

bài này dài đó, mình mới nghĩ ra
vì a,b,c là độ dài 3 cạnh t/giac => a,b,c >0
+,ta có A= [TEX](a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) [/TEX]
[TEX]A= \frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+C}{b}+\frac{a+b+c}{c}[/TEX]
[TEX]A= \frac 1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+1+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+1[/TEX]
[TEX]A=3+(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})+(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})[/TEX]
Vì [TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2 \forall a,b [/TEX]
[TEX]\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\geq 2 \forall a,c [/TEX]
[TEX]\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\geq 2 \forall b,c [/TEX]
=> [TEX]A \geq 3+2+2+2=9[/TEX]
=> [TEX](a+b+c)(\frac{1}{a}+{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 9 (1) [/TEX]

ta xét [TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}[/TEX]
dựa vào bđt (1) có [TEX](x+y+z)(\frac{1}{x}+{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 9 [/TEX]
đặt x= b+c, y= a+c, z= a+b
ta đc : [TEX]2(a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}) \geq 9[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b})\geq 4,5[/TEX]
[TEX]\frac{a+b+C}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}\geq 4,5[/TEX]
[TEX]\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{a+c}+1+1+\frac{c}{a+b}\geq 4,5 [/TEX]
[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq 1,5 (2)[/TEX]

từ (1) (2) ra chưa bạn

 

[thanh0123]

Dạng tổng quát:

Cho một số nguyên dương [TEX]n\geq2[/TEX] và hai dãy số thực [TEX]a_1;a_2;a_3;...;a_n[/TEX] và [TEX]b_1 ; b_2 ; b_3 ;...; b_n[/TEX] thỏa mãn điều kiện [TEX]a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq...\geq a_n[/TEX] và [TEX]b_1 \geq b_2 \geq b_3 \geq...\geq b_n[/TEX]. Khi đó ta có:

[TEX] a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n \geq \frac{1}{n} (a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+...+b_n)[/TEX]

Hay: [TEX]n (a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n) \geq (a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+...+b_n)[/TEX]

BĐT này chứng minh được không bạn
nếu có bạn thử chứng minh xem

 

[huynh_trung]

hok ai làm được bài 1 à 3.............................

 

[huynh_trung]

bài 2
[TEX](a^2+c^2)(b^2+d^2)\geq(ab+cd)^2[/TEX]
= [TEX](a^2+c^2)(b^2+d^2)- (ab+cd)^2[/TEX]
=[TEX] a^2b^2+a^2d^2+b^2c^2+c^2d^2-a^2b^2-2abcd-c^2d^2[/TEX]
= [TEX]a^2d^2+b^2c^2-2abcd[/TEX]
= [TEX](ad-bc)^2 [/TEX]
Vì [TEX](ad-bc)^2 \geq0 \forall x[/TEX]
=> [TEX](a^2+c^2)(b^2+d^2)- (ab+cd)^2\geq 0 [/TEX]
vậy [TEX](a^2+c^2)(b^2+d^2)\geq(ab+cd)^2[/TEX]

bạn làm sao mà tui hok hiểu tí nào,ti có cách làm khác nè:

[TEX](ab + cd)^2 \leq (a^2 + c^2)(b^2 + d^2)[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow a^2b^2 + 2abcd + c^2d^2 \leq a^2b^2 + a^2d^2 + c^2b^2 + c^2d^2 [/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow 0 \leq (ad - bc)^2[/TEX] là bất dẳng thức đúng với mọi a,b,c,d thuộc R

 

[hocmai.toanhoc]

bài này dài đó, mình mới nghĩ ra
vì a,b,c là độ dài 3 cạnh t/giac => a,b,c >0
+,ta có A= [TEX](a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) [/TEX]
[TEX]A= \frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+C}{b}+\frac{a+b+c}{c}[/TEX]
[TEX]A= \frac 1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+1+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+1[/TEX]
[TEX]A=3+(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})+(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})[/TEX]
Vì [TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2 \forall a,b [/TEX]
[TEX]\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\geq 2 \forall a,c [/TEX]
[TEX]\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\geq 2 \forall b,c [/TEX]
=> [TEX]A \geq 3+2+2+2=9[/TEX]
=> [TEX](a+b+c)(\frac{1}{a}+{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 9 (1) [/TEX]

ta xét [TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}[/TEX]
dựa vào bđt (1) có [TEX](x+y+z)(\frac{1}{x}+{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 9 [/TEX]
đặt x= b+c, y= a+c, z= a+b
ta đc : [TEX]2(a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}) \geq 9[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b})\geq 4,5[/TEX]
[TEX]\frac{a+b+C}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}\geq 4,5[/TEX]
[TEX]\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{a+c}+1+1+\frac{c}{a+b}\geq 4,5 [/TEX]
[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq 1,5 (2)[/TEX]

từ (1) (2) ra chưa bạn

Chứng minh sai hoàn toàn . Việc CM của em là việc CM

[TEX]\left{VT \geq 9 \\ VP \geq 9 [/TEX] [TEX] \Rightarrow VT \geq VP [/TEX] 8-}

=))

 

[hocmai.toanhoc]

bài 1
c)[TEX]\frac{a^3 + b^3}{2ab} + \frac{b^3 + c^3}{2bc} + \frac{c^3+a^3}{2ca} \geq a+b+c[/TEX]

Làm tạm bài này đã , tý nữa giúp sức tiếp

Dễ dàng CM bằng cách khai triển ta được : [TEX]a^3+b^3 \geq \frac{(a+b)^3}{4} [/TEX]
và [TEX]2ab \leq \frac{(a+b)^2}{2}[/TEX]

Từ đó ta có : [TEX]\frac{a^3 + b^3}{2ab} \geq \frac{(a+b)^3}{2(a+b)} = \frac{a+b}{2}[/TEX]

Một cách tương tự ta cũng có các BDT :[TEX] \left{ \frac{b^3 + c^3}{2bc} \geq \frac{b+c}{2} \\ \frac{c^3 +a^3}{2ca} \geq \frac{c+a}{2}[/TEX]

Cộng lại ta có đpcm . Dấu bằng cảy ra khi a=b=c

 

[hocmai.toanhoc]

bài 3 với a>0, b>0, c>0.Hãy chứng minh:

a)[TEX]\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} \geq 2b[/TEX]

b)[TEX]\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} \geq a+b+c[/TEX]

2 bài này có khác gì nhau đâu , bài a) là BDT xuất phát đê ta có bài b) thôi mà

việc CM cũng rất đơn giản .

a) Sử dụng BDT co-si ta có ngay BDT này [TEX]\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} \geq 2b[/TEX]

b) từ câu a) ta cũng có các BDT tương tự , rồi cộng lại ta có ngay đpcm

 

[hocmai.toanhoc]

bài 2 với mọi a,b,c,d là số thực, chứng minh:

[TEX](ab + cd)^2 \leq (a^2 + c^2)( b^2 + d^2)[/TEX]

Cái này chính là rất quen thuộc bunhiacopxki đối với 4 số mà ai cũng biết . CM thật đơn giản bằng cách khai triển toẹt nó ra .

[TEX]BDT \Leftrightarrow a^2b^2+2abcd+c^2d^2 \leq a^2b^2+b^2c^2+a^2d^2+c^2d^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (ad-bc)^2 \geq 0[/TEX] hiển nhiên đúng .

Vậy ta có đpcm