Toán 9 Chứng minh bổ đề BĐT

[thuhuyenef]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bổ đề 2: [imath]a^2 + b^2 + c^2 \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{3} \ge ab + bc + ca[/imath]
Bổ đề 3: [imath]\sqrt{a + b} \le \sqrt{a} + \sqrt{b} \le \sqrt{2(a+b)}[/imath]
CÁC ANH CHỊ CÓ THỂ CHỨNG MINH GIÚP EM CÁC BỔ ĐỀ NÀY KHÔNG Ạ .EM CẢM ƠN

 

[chi254]

Bổ đề 2: [imath]a^2 + b^2 + c^2 \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{3} \ge ab + bc + ca[/imath]
CÁC ANH CHỊ CÓ THỂ CHỨNG MINH GIÚP EM CÁC BỔ ĐỀ NÀY KHÔNG Ạ .EM CẢM ƠN

thuhuyenef
Bổ đề 2: [imath]a^2 + b^2 + c^2 \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{3} \ge ab + bc + ca[/imath]

1) [imath]a^2 + b^2 + c^2 \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{3}[/imath]
Sử dụng biến đổi tương đương:
[imath]3(a^2 + b^2+ c^2) \ge (a + b+c)^2[/imath]
[imath]\iff 3a^2 + 3b^2 +3c^2 \ge a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca[/imath]
[imath]\iff 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 \ge 2ab + 2bc + 2ca[/imath]

Ta có: [imath]a^2 + b^2 \ge 2|ab| \ge 2ab[/imath]
Tương tự suy ra: [imath]2a^2 + 2b^2 + 2c^2 \ge 2ab + 2bc + 2ca[/imath]

2) [imath]\dfrac{(a+b+c)^2}{3} \ge ab + bc + ca[/imath]
[imath]\iff a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \ge ab + bc + ca[/imath]
[imath]\iff a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca[/imath] ( Đã chứng minh)

Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé
Ngoài ra em xem thêm tại [Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức

 

[chi254]

Bổ đề 3: [imath]\sqrt{a + b} \le \sqrt{a} + \sqrt{b} \le \sqrt{2(a+b)}[/imath]
1)
[imath]\sqrt{a + b} \le \sqrt{a} + \sqrt{b}[/imath]
[imath]\iff a+ b \le a + b + 2\sqrt{ab}[/imath] ( Luôn đúng)

2) Tương tự

Bổ đề 4: [imath]\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{a +b}[/imath]

Ta có: [imath]\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{2}{\sqrt{ab}} \ge \dfrac{2}{\dfrac{a + b}{2}} = \dfrac{4}{a+b}[/imath]


Bổ đề 5: Tương tự cũng như bổ đề 3
Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé
Ngoài ra em xem thêm tại [Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức