Toán 9 Chứng minh biểu thức nhỏ hơn hoặc bằng 1

[Junery N]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Với [tex]x;y;z[/tex] là các số thực dương sao cho: [tex]x.y.z=\frac{1}{6}[/tex].
Chứng minh: [tex]\frac{1}{x^3+8y^3+1}+\frac{1}{8y^3+27z^3+1}+\frac{1}{27z^3+x^3+1}\leq 1[/tex].

 

[kido2006]

Với [tex]x;y;z[/tex] là các số thực dương sao cho: [tex]x.y.z=\frac{1}{6}[/tex].
Chứng minh: [tex]\frac{1}{x^3+8y^3+1}+\frac{1}{8y^3+27z^3+1}+\frac{1}{27z^3+x^3+1}\leq 1[/tex].

Đặt [tex]\left\{\begin{matrix} a=x\\ b=2y\\ c=3z \end{matrix}\right.[/tex]
Thì ta có [tex]a.b.c=1[/tex] và cần chứng minh [tex]\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\leq 1[/tex].
Đây là bổ đề quen thuộc rùi
Ta có [tex]a^3+b^3\geq ab(a+b)\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\geq 0;\forall a,b>0[/tex]
Áp dụng ta có [tex]\sum \frac{1}{a^3+b^3+1}=\sum \frac{1}{a^3+b^3+abc}\leq \sum \frac{1}{ab(a+b)+abc}=\sum \frac{c}{abc(a+b+c)}=\sum\frac{c}{(a+b+c)}=1(dpcm)[/tex]