Toán 10 Chứng minh BEFC nội tiếp...

[David Wind]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC nội tiếp (O). M,N là điểm chính giữa cung BC (N,A cùng phía với BC). AN cắt BC tại H. Lấy điểm D, K trên AM (AD<AK) sao cho D là trực tâm tam giác NHK. DB cắt KC tại E và DC cắt KB tại F. AM cắt (BCD) tại điểm thứ 2 là P, tiếp tuyến tại B và C của (BCD) cắt nhau tại Q. Chứng minh BEFC nội tiếp và PQ, NK cắt nhau tại 1 điểm nằm trên (BCD)

 

[7 1 2 5]

Lấy [imath]C'[/imath] đối xứng với [imath]C[/imath] qua [imath]AD[/imath] thì [imath]C \in AB[/imath]
Dễ thấy [imath]\Delta ABH \sim \Delta ANC \Rightarrow AB \cdot AC=AH \cdot AN[/imath]
Mặt khác, [imath]AH \cdot AN=AD \cdot AK \Rightarrow AD \cdot AK=AB \cdot AC=AB \cdot AC'[/imath]
[imath]\Rightarrow BDKC'[/imath] nội tiếp [imath]\Rightarrow \widehat{KBD}=\widehat{KC'D}=\widehat{KCD}[/imath]
[imath]\Rightarrow \widehat{FBE}=\widehat{FCE} \Rightarrow BEFC[/imath] nội tiếp.
Gọi [imath]J[/imath] là giao điểm của [imath]HD[/imath] với [imath]NK[/imath] thì [imath]HJ \cdot HD=HA \cdot HN=HB \cdot HC[/imath] nên [imath]DJCB[/imath] nội tiếp hay [imath]J \in (BCD)[/imath]
Dễ thấy [imath]A(HD,BC)=-1 \Rightarrow D(HA,BC)=-1 \Rightarrow D(JP,BC)=-1 \Rightarrow BJCP[/imath] là tứ giác điều hòa
[imath]\Rightarrow PJ[/imath] đi qua [imath]Q[/imath].
Từ đó [imath]PQ,NK[/imath] cắt nhau tại [imath]J \in (BCD)[/imath].

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
Đề thi ôn tập chọn HSGQG