Giả định: [imath]\displaystyle \left\{\begin{matrix} x=a^3\\y=b^3\\z=c^3 \end{matrix}\right.[/imath]
Vì [imath]\displaystyle \left\{\begin{matrix} x,y,z > 0 \\ x.y.z=1 \end{matrix}\right.[/imath] [imath]\Rightarrow \displaystyle \left\{\begin{matrix} a,b,c >0 \\ a.b.c =1\end{matrix}\right.[/imath]
Xét thấy: [imath]\displaystyle x+y+1=a^3+b^3+1=(a+b).(a^2-ab+b^2)+1\geq (a+b).ab+1[/imath] (sử dụng định lý cô-si)
Mà: [imath]\displaystyle (a+b).ab+1=ab.(a+b+c)=\frac{a+b+c}{c}[/imath]
Do đó: [imath]\displaystyle \frac{1}{x+y+1}\leq\frac{c}{a+b+c}[/imath]
Tương tự như vậy ta lần lượt có được: [imath]\displaystyle \frac{1}{y+z+1} \leq \frac{a}{a+b+c}; \frac{1}{z+x+1}\leq\frac{b}{a+b+c}[/imath]
Cộng 3 bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh
Chúc em học tốt nhé !!!
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
