Áp dụng BĐT Cauchy [imath]2[/imath] số ta có: [imath]\dfrac{a^{11}}{bc}+abc \geq 2a^6 \Rightarrow \dfrac{a^{11}}{bc} \geq 2a^6-abc[/imath]
Tương tự thì [imath]\dfrac{b^{11}}{ac} \geq 2b^6-abc, \dfrac{c^{11}}{ab} \geq 2c^6-abc[/imath]
Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy cho [imath]3[/imath] số ta có [imath]\dfrac{1}{a^2b^2c^2}+abc+abc \geq 3[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{3}{a^2b^2c^2} \geq 9-6abc[/imath]
[imath]\Rightarrow VT \geq 2(a^6+b^6+c^6)+9-9abc[/imath]
Áp dụng BĐT Cauchy [imath]3[/imath] số ta có: [imath]a^3+b^3+c^3 \geq 3abc \Rightarrow 9abc \leq 3(a^3+b^3+c^3)[/imath]
Áp dụng BĐT Cauchy [imath]2[/imath] số ta có: [imath]a^6+1 \geq 2a^3 \Rightarrow a^3 \leq \dfrac{a^6+1}{2}[/imath]
Tương tự, [imath]b^3 \leq \dfrac{b^6+1}{2}, c^3 \leq \dfrac{c^6+1}{2}[/imath]
[imath]\Rightarrow 9abc \leq 3(a^3+b^3+c^3) \leq 3 \cdot \dfrac{a^6+b^6+c^6+3}{2}[/imath]
[imath]\Rightarrow VT \geq 2(a^6+b^6+c^6)+9-9abc \geq 2(a^6+b^6+c^6)+9 - 3 \cdot \dfrac{a^6+b^6+c^6+3}{2}=\dfrac{a^6+b^6+c^6+9}{2}[/imath]
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
