Toán 10 Chứng minh bđt

[David Wind]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số thực dương. chứng minh rằng:
[imath](a^{2}-ab+b^{2})(b^{2}-bc+c^{2})(c^{2}-ca+a^{2}) \geq \frac{1}{3}abc(a^{3}+b^{3}+c^{3})[/imath]

 

[7 1 2 5]

BĐT cần chứng minh tương đương với [imath](a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3) \geq \dfrac{1}{3}abc(a+b)(b+c)(c+a)(a^3+b^3+c^3)[/imath]
Áp dụng BĐT [imath](x+y)(y+z)(z+x) \geq \dfrac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)[/imath] ta được:
[imath]VT \geq \dfrac{8}{9}(a^3+b^3+c^3)(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)[/imath]
Từ đó ta cần chứng minh [imath]\dfrac{8}{3}(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3) \geq abc(a+b)(b+c)(c+a) =(ab+ac)(bc+ba)(ca+cb)[/imath]
Đặt [imath](ab,bc,ca)=(x,y,z)[/imath] thì BĐT trên trở thành [imath]\dfrac{8}{3}(x^3+y^3+z^3) \geq (x+y)(y+z)(z+x)[/imath]
Vì [imath](x+y)(y+z)(z+x) \leq \dfrac{[2(x+y+z)]^3}{27}=\dfrac{8(x+y+z)^3}{27} \leq \dfrac{8\cdot 9(x^3+y^3+z^3)}{27}=\dfrac{8}{3}(x^3+y^3+z^3)[/imath] nên ta có đpcm.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức